Zur Transformationstheorie partieller Dift'erentialgleicliungen zweiter Ordnung 



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(f) dr' = F{r', x')dx', ■ 



was so zu deuten ist, dass ein jedes Element (»'o' l^o' ''o ) Streifens (d) eine 

 ganz bestimmte Reihe derartiger Elemente [x' p' r') ergibt, die sicli je einem der 

 Elemente (d), (d') des Streifens anscbliessen und daneben von einem Wertsysteme 

 (si^) begleitet sind, das dem Streifen und den Gleichungen (20) zugleich angehört. 

 Wir haben auf diese Weise zu dem ersten Streifen (d) — S werde ich ihn nennen 

 — und von einem beliebigen dessen Elemente (a'o' i^o' 'o') ausgehend einen völlig 

 bestimmten neuen Streifen erhalten, der seiner ganzen Erstreckung nach mit dem 

 ersten vereinigt liegt. 



Den neuen Streifen bezeichne ich mit S'. Von ihm wird nach dem eben 

 Erörterten ein bestimmtes Wertsystem (s/), das auch den Gleichungen (20) ange- 

 hört, jedem Elemente {x p') von S beigeordnet. 



Den Gleichungen (b') und (c') gebe ich kürzer die Namen ^ = 0, B = 0 bez. 

 Es gilt dann, dass für die erwähnten Elemente [x j)' r' Si^) nicht nur J. = 0, = 0, 

 sondern auch dA/ds = 0 und dB/ds = 0 ist, falls mit ds das Bogenelement der 

 Leitkurve ^' =/(a;'), y' = (d[x') unseres Streifens bezeichnet wird. 



Durch eine Punkttransformation von [x ij' s') zu [x" y" s") verwandeln wir 

 jene Kurve s' =f[x'), y' = f(x') in eine Geîade e" =0, y" =0 und die Glei- 

 chungen (b'), (c') durch Multiplikation, das eine mal mit dx' jdx" bez. dy' jdx" , das an- 

 dere mal mit dx'/dy" bez. dy'/dy" und Addition in die Gleichungen in x ', y", z": 



^■^ ^ dx"— dx" + dx" dy" — dij" ^ dy" 



die wir nunmehr kurz als Gleichungen A = 0, B = 0 benennen. 



Es wird nach dem Vorangehenden dÄ/dy" = dB/dx", aber für die Elemente 

 des Streifens wird auch dA/ds = dA/dx" = 0 ebenso wie dB/d-'i = dB/dx" = 0 und 

 daher kommt aus unseren Gleichungen A = 0, B = 0 für die dem Doppelstreifen 

 {S, S') angehörenden Werte der nur eine neue Gleichung hervor, nämlich die 

 Gleichung dB/dy" = 0. In Verein mit den von [S, S') selbst gelieferten vier Glei- 

 chungen für die fünf — man beachte was unmittelbar nach der Aufstellung der 

 Gleichungen (e) hiervon gesagt wurde — erhalten wir folglich im ganzen fünf 

 Gleichungen, die eindeutig Werte von sf' bestimmen, die das eben bestimmte 

 Element [x, . . s/) von S zu einem Elemente nächsthöherer Ordnung [x, . . s^*) 

 desselben Streifens erweitern, das auch den zwei Gleichungen (20-) genügt und so 

 einen dritten Streifen, S", liefert, der mit S' vereinigt Wegi. 



Das heisst, die drei unendlich nahe an einander folgenden Streifen S, S', S" 

 machen ein Integral oder ein Stück eines Integrals der Gleichungen [20) aus. 



Wie man diese Betrachtung weiter zu verfolgen hat, ist leicht verständlich. 

 Wir brauchen nur zu bemerken, dass von den mit den vorangehenden Elementen 

 {x'p'..£i^) zusammengehörenden, den Gleichungen (20). genügenden s/ erstens gilt, 

 dass es wird 



