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A. V. Bäcklund 



^ dx'''^ ' dx"dy"~ ' dx"'~ ' dx"dy"~ ' 



was aber nur als drei von einander unabhängige Gleichungen zu zählen sind, 

 weil für alle x" , y" 



dÄ dB d''A d^B d^ A d^B 



dy" dx" dy" dx" dx'"-' dy'"' dx" dy'" 



zweitens dass alle zweiten Derivierten von A = 0, B = 0 für die fraglichen 

 verschwinden sollen, was wegen (a) und (ß) als neue Gleichung nur 



, , d'B ^ 



('^^ W' = ^ 



ergibt, und drittens, dass von diesen Gleichungen die vier ersten, (a), die einfachsten 

 Folgen der oben bestimmten Werte von Sj* sind, und nur (y) eine wesentlich neue 

 Gleichung ist und hierzu die einzige, die wir zur Ausscheidung aus dem Büschel 

 der s,-^ des Streif en tripels (S,S',S"): = s,-^* c/x" -f s,/ c^?/", des dem Gleichungs- 

 paare (f) angehörenden ** Sg^ anzuwenden haben. 



Wir bekommen also hierdurch ein ganz bestimmtes Wertsysten^ der fünften 

 Ditîerentialquotienten von das in dem Sinne zur Vervollständigung des obigen 

 Integrals {S S' S") als dienlich zu erachten ist, dass dadurch ein neuer Streifen S'" 

 erhalten wird, der sich seiner ganzen Erstreckung nach mit S'' vereinigt und somit 

 obiges Integralstück zu dem grösseren [S S' S" S'") erweitert. 



Die Fortsetzung ergibt nun von selbst als Endresultat den folgenden Satz : 

 Das allgemeine Integral von (/) enthält eine willkürliche Konstante. Den ver- 

 schiedenen cc^ Werten derselben entsprechen im (dlgemeinen ebensoviel den Gleichungen 

 [20) gemeinsame Integralflächen, die den Streifen [d] enthalten. Die oben erörterte Er- 

 zeugung einer beliebigen dieser Flächen durch sukzessives Anreihen von Streifen 

 S, S',S", ... ist einer analytischen Darstellung derselben vermittels konvergenter Taylorscher 

 Reihen äquivalent. 



Ich habe im zweiten Punkte die Worte »im allgemeinen» eingeschoben. Es 

 gibt nämlich Streifen, die gleichzeitig unendlich vielen Integralflächen als Oskula- 

 tionsstreifen angehören. Jede Integralfläche von [20) — oder von (b'), (c') — ist von 

 zivei Scharen derartiger charakteristischer Streifen durchzogen. Sie werden ße- 

 rührungsstreifen höherer Ordnung zwischen der Tntegralfläche und unendlichfach 

 unendhch vielen anderen Integralflächen von (b'), (c'). Ihre Richtungen (X = dy' : dx) 

 werden durch die Gleiclmng gegeben: 



* In (a^'2/'0 liiesse es: — — , —, v-r, 7f7.') = ^- 



cl 



/dA 



dA 



dB 



dB 



äs 



\dx" 



dy" 



dx" 



dy'. 



> 



"22 





= ^3'^. 



e * 



i . 



'41 



'=.',1 ^5 > '52 6 ■ 



