Zur TransformationstheoriG partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung 



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^ ar dt' ~ 



Von partiellen DifEerentialgleicliungen dieser Art habe ich in meiner Abhand- 

 lung über mehrdeutige Flächentransforinationen in K. Sv. Vet.-Äkad. Handlingar 

 Bd. 50 S. 62 — 65 und auch früher, jedoch nie so umständhch, mich geäussert *. 



7. Indem wir in umgekehrter Richtung den in vorangeliender Nr. verfolgten 

 Weg eiuschhigen, bemerken wir, dass wir in der Tat jetzt gelernt haben, die Man- 

 nigfaltigkeiten ziveier Dimensionen des Baumes ** zu bestimmen, die durch die 

 Transformation 



(A)(B) Fi{z,x,y,p, q,z' ,x^,x^^,x^,p-^,p^ = /= 1, 2, . . 6, 



in Flächen des Baumes [x^ y, z) verivandelt werden. 



8. Man nehme hier in Acht, dass die vier Gleichungen (18), von denen neulich 

 gehandelt worden ist, sich auf ein System von solchen fünf Gleichungen wie (15) 

 beziehen und deshalb eine Transformationsaufgabe von wesentlich anderer Art be- 

 gründen als die durcli die fünf Gleichungen 



fi{z, X, //, p, q, Z, X3, Pg, = 0, z= X^, ^ = 1 , 2, 3, 4, 



dargestellte. Hier würde die Gleichung (12), nachdem z,x,y,p,q vermittels der 

 fünf Gleichungen herauseliminiert worden sind, durch ihre Integrale Z = f{X^, X^, Xg) 

 die Mg des R^ [Z X) ergeben, die je eine Flächenschar z = <f[x, y,\),\ eine will- 

 kürliche Konstante, als Ebenbild in Bg[x,y,s) besitzen. 



In den in Nr. 6 angewandten Bezeichnungen z' , x' , y' , p' , q liaben wir = Z, 

 x' = X^, «/' = Xg, dagegen, da dort z' als Funktion von Xg, Xg allein, aber hier als 

 Funktion von X^ Xg, Xg behandelt wird und z=X-^ ist, dürfen wir hier nicht 

 Pg, Pg gleich p' , q setzen, sondern müssen 



/ = + (, ^^+,^).,' =F, +p.{>'à-^+i à) 



nehmen, was kaum in anderen Fällen, als wenn fg = x — Xj, f^ = y — Xg ist, als 

 Substitutionen von brauchbarer Einfachheit anzusehen ist. In letzterem Falle kommt 



p = P, + Pi ÏK q' = P, + P,q 

 und unsere Gleichungen *** 



* Immer werden wir bei der obigen Konstruktion von Integralflächen von (20) nur Teile, 

 die von Charakteristiken des Gleichungspaares abgegrenzt sind, erhalten können. Siehe etwa 

 meine Abhandlung: Amoendung von Sätzen usw. in Math. Ann. Bd. 40, S. 222—228 § 3. 

 ** -R4 ist der Raum {z\ x,, x^, x^). 



*** Von solchen Gleichungen ist in Math. Ann. Bd. 17 S. 289 eingehender gehandelt 

 worden. 



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