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18 A. V. Bäcklund 



(21) fA^^^\x,y, 'p,(i,p\ 2') = 0. /2K 2') = 0 



werden dann mit fünf Transformationsgleiclmngen der Form (A), nämlich mit 



(21') f,{z, Z, X, y,p, q, P, + P,p, P,-^P^q)==0,f,{z, Z, x, y,p, q, P, +P^p, P^^P^q) = 0 



gleichbedeutend. Die für dieses Gleichungssystem gebildete Gleichung (12) reduziert 

 sich, wie gesagt, auf eine partielle Differentialgleichung 2. 0. in 2?^, die Z als Funk- 

 tion von X^, Xg, Z3, also / als Funktion von 3, x, y ergibt. Statt uns also eines 

 Gleichungspaares 3. 0. in B,^[x,y,z) von der in Nr. 6 angegebenen Art zur Lösung 

 der zwei Gleichungen (21) für z und s' /ai bedienen, erreichen wir dasselbe Ziel 

 durch Integration einer Gleichung 2. 0. in li^ (,0, z' , x, y). Da wir bei dem ersten 

 Verfahren, dem in Nr. 6, im allgemeinen zu einer Lösung s' = f[x, y) eine einzige 

 z = 's{x,y) findet, die mit ihr zusammengehört, finden wir bei dem zweiten Ver- 

 fahren zu einer Lösung z' = f[0,x, y) eine Lösung 2; = tp(x, X) mit X als arbiträrer 

 Integrationskonstante als mit jener zusammengehörend. Es wird dann auf einmal 

 eine ganze einfach unendliche Schar zusammengehörender Lösungen z, z erhalten. 

 In dem Folgenden wird von einem Gleichungspaare 



/i (^, ^\ a^, y, q, Pv Ps' P-i) = 0, /2 {z, z', x, y,p, q, P^, P.,, P3) = 0 

 gehandelt, das von der Form (2)') gänzhch verschieden ist. 



III. 



Eine besondere Transformation der Gattung (A). 



9. In BiANCHis Theorie der auf die Flächen zweiter Ordnung abwickelbaren 

 Flächen spielen die zwei Gleichungen 



(22) B,'9j£ = DC + D'-n,', 



(23) 7);ß|^ = (Z)'-7);)C+/)" 



dl) 



eine Hauptrolle. Für meine Abhandlung: Sätze aus Bianchis Theorie usw. in K. 

 Sv. Vet.-Akad. Handlingar Bd 55 N:o 2 haben sie auch eine grundlegende Be- 

 deutung gehabt. Man findet sie S. 11 daselbst mit den Ziffern (17), (18) verzeichnet. 

 Es sind u, v Parameter der HaupttangentenJcurven einer beliebig genommenen Fläche S 

 — bei ßiANCHi einer von der zweiten Ordnung — D, D' , 1) ' Koeffizienten der zweiten 

 Grundform irgend einer auf S ahwichelbaren Fläche (S). Für S selbst wird D' = /)(,' 

 gesetzt, während dort Z), D" null werden, weil für S, aber nicht für 2, die «J-Kur- 

 ven Haupttangentenkurven sind. Ferner ist * 



* Siehe raeine oben zitierte Abb. S. 11 Gl. (19). 



