Zur Transformationstheorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung 21 



können wir die Gleichung (27) folgenderweise formulieren: 

 (29) Ae' D^{Ä — Bz') (/>' — D,') — BD" = 0. 



In diese Gleichung gehen nur z' , x^, x^^, x^, i\\ , nïoXû s!, x, y, p, q, als 



Veränderliche ein, und ivir sehen dann in ihr diejenige partielle Diß'erentialgleichtmg 

 gioeiter Ordnung des Raumes [z, x^, x.^, x^), deren Integral-M^, der Transformation [26] 

 gegenüber, Scharen von Flächen: z = f{x, y, X), entsprechen. 



In meiner Abhandlung: Sätee aus Bianchis Theori usw. (K. Vet.-Akad. Handl. 

 ßd 55) findet man S. 13 dieselbe Gleichung (29) hergeleitet. Nur wegen ihres 

 nahen Zusammenhangs mit der oben erörterten Gleichung (12) habe ich jetzt von 

 neuem einen Beweis derselben gegeben. 



10. Ich erinnere an die Bedeutung, die den Gleichungen (22), (23), (29) für • 

 unsre Flächen S und S beizulegen ist. S war diejenige der Flächen (25), für die 

 ÎI und V Parameter der Haupttangentenkurven sind, eine beliebig andere dersel- 

 ben (25), C ist der Richtungskoeffizient einer Tangente von S (oder S) im Punkte 

 (m, v) und damit C = f{ti, v) die Gleichung einer Tangentialkongruenz an S (oder Ï), 

 also auch Gleichung der zweiten Brennfläche S' (oder S') dieser Kongruenz. In 

 dieser Weise steht C,=f{tt,v, [i) mit [i. als variierendem Parameter als Gleichung 

 einer Schar von oo^ Flächen S' (oder S'), die mit S (oder Ï), auch, bei der Bewegung 

 dieser, in fester Verbindung verharren. 



In der obenstehenden Gleichung (29) ist statt C, M, V, jx geschrieben. 



Ein Integral z' — f{x^, x^, x,,) dieser Gleichung ist daher als Gleichung C = f{u, v, 

 einer der Fläche S adjungierten Schar von co^ Flächen 8' zu deuten und zwar — 

 und hierin liegt die Bedeutung der Gleichungen (22), (23) — als Gleichung einer 

 solchen Schar, die bei dem Rollen von S auf ï eine S'-Schar umhüllt, die durch' 

 Elimination von \>. aus jeuer Gleichung C = f{i(, v, [i.) und der hiervon abhängigen 

 am Ende der vorangehenden Nr. erwähnten Gleichung z = f(x, p, X), d. i. [j. = (p{^l, v, X), 

 durch eine Gleichung C = F{u, v, X) gegeben wird. 



Immerhin ist angenommen ivorden, dass das Rollen von S auf S so geschieht als 

 ivenn man die eine Fläche auf die andere abtvickehi wollte, und dass dabei die u, v- 

 Kurven der einen Fläche die nämlichen ■ Kurven der anderen als ihre Spuren abgeben. 



11. Für S, für die , 



(25) ds'- = E{u,v)du^-i-2F{u,v)dudv^G{u,v)dv^ 



die erste und 



— IdxdX^ D{u, v) du'- + 2D' [u, v) du dv + B" {u, v) dv^ 



die zweite Grundform ist, werden also ^^, v Parameter einer zweifachen Schar sog. 

 virtueller Haupttangentenkurven, und die angehörende Gleichung (29) lautet in den 

 früheren Bezeichnungen C, [>-, u, v: 



(29') At: B -\- {A — BQ {B' — D^') — BD" = 0, 



