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A. V. Bäcklund 



12. Die Gleichu^.geu 



B, B = A 



belehren uns übrigens, dass eine zufällig vorhandene gemeinsame Lösung von 



sich entweder in ganz derselben Weise auf beide Haupttangentenkurven von S be- 

 zieht oder durch die Transformation (30) in eine zweite genieinsame Lösung beider 

 Gleichungen übergeht. 



Kann es aber gemeinsame Lösungen von (31) geben? Welche Bedeutung einer 

 solchen Lösung zuzuschreiben wäre, ist leicht ersichtlich. Durch sie wurde der 

 Gleichung (29) unabhängig von den Werten von Z), D' , D" genügt. Also, wenn 



eine solche Lösung ausmacht, wird sie auf eine Ä'-Schar hinweisen, die, mit S fest 

 vereinigt, immerhin, wenn diese Fläche auf einer darauf abwickelbaren Fläche S in 

 der Weise rollt, als wenn man sie auf S abwickeln wollte, eine neue Schar von oo^ 

 Flächen I' erzeugt, die sich auf S so beziehen würde wie jene Ä'-Schar auf S. Und 

 dieselbe Ä'-Schar (32) wird für jede beliebige auf S abwickelbare Fläche ähnliches 

 leisten. Ich habe auch bewiesen (in der zit. Abh. S. 39, 44), dass die fraglichen S' 

 auf einander, wie auch die S' unter sich und auf 8' , abwickelbar sind, und noch 

 mehr, dass aus einer beliebigen der S' die anderen durch wiederholte infinitesimale, 

 von S gelenkte Verbiegungen erhalten werden können. Hieraus folgt sofort, dass 

 keine Fläche zwei verschiedenen <S"-Scharen angehören kann, oder also dass durch 

 Mg*' : C = /(m, f), [J- = [j-o höchstens eine Integral- : 'Q = f{ti, v, ii.) von {31) gelegt wer- 

 den könne. Das unter Umständen unendhch viele Lösungen von (31), jedoch ohne 

 gemeinsame ilfg" *, möglich sind, erkennen wir aus Bianchis Ttieorie der auf die 

 Flächen zweiter Ordnung abwickelbaren Flächen, wo es gezeigt worden ist, dass jede 

 Schar geradliniger Erzeugenden jedes zu einem Hyperboloide konfokalen Hyper- 

 boloids als eine jenem Hyperboloide angehörende S'-Schar aufzufassen ist, die bei 

 dem Rollen des Hyperboloids auf einer beliebigen auf dasselbe abwickelbaren Fläche 

 S — auf die im kursivierten Satze am Ende der Nr. 10 vorgeschriebene Weise — 

 immer <x^ Flächen S' ergibt, gerade als wenn durch solche Flächenschar der Glei- 

 chung (29') unabhängig von D, D', B" genügt wurde. 



Die Gleichungen (31) schreiben wir unter der Form: 



(31-) 



^ = 0, B = 0 



(32) 



(33) 



wobei wir der Formel (24) gemäss 



* für die ^ konstant wäre. 



