Zur Transformationstheoi-ie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung 



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rii\ t /8C , 9 , . .Jill ^ 9 , , 8 , , U22 



(34) CO ^- + _ logC-C^I 2 f - C - log CO + - leg .0 + -| ^ 



(35) . = ^ 



gesetzt haben, und hieran schliessen sich die folgenden Erwägungen über die Inte- 

 grabihtät unserer Gleichungen Ä = 0, JB = 0. 



Untersuchen wir zunächst was erfordert wird, damit man von einer Fläche 



(36) ■Q=f{u,v,i>.) 



mittels einer den Gleichungen (33) genügenden infinitesimalen Transformation 



(37) . . SC - cli>., OH = 0, 8v = 0 



zu einer unendlich benachbarten Fläche 



(36') C=/(h, r, iJ. + f?a) 



derselben Schar gelangt. Wir wollen letztere Fläche mit S", jene (36) mit S' be- 

 zeichnen. Dass die in Frage gestellte Transformation keine der oben erwähnten 

 Verbiegungen ist, erhellt sogleich daraus, dass für solche Verbiegungen Su, 8v nicht 

 verschwinden *. Andrerseits fällt die hier gestellte Aufgabe mit derjenigen zusam- 

 men, die Bedingungen anzugeben, worunter der Wert von 8C/9p., den die Glei- 

 chungen (33) liefern, eine stetige Funktion von bloss u, v, \y wird. 



Die Gleichungen (33) führen zu den folgenden Werten der Differentialquoti- 

 enten dKld\i'du, dK/d[>'dv: 



woraus zunächst bei d'Q/d'^- als stetiger Funktion von u, v die Notwendigkeit der 

 Gleichung 



hervorgeht. Geometrisch bedeutet dies, dass die der Fläche S tmd einer beliebigen 

 der hier in Frage stehenden S' gemeinsame Tangentialkongruenz eine W-Kongrueiiz 



* Man sehe die Formeln (67) — (70) meiner oben zitierten Abh. SäUe usw., S. 38, 39. Die 

 einer Verbiegung der oben erwähnten Art angehörende Verschiebung des Punktes {uv) von S' ist 



parallel der Normale von S im Punkte (uv) und von der Grösse — j^— g^, wo m durch die For- 

 mel (29) S. 17 der Abh. zu bestimmen ist. Man möge übrigens nicht vergessen, dass die u, v- 

 Kurven einer S' (32) so gewählt sind, dass die Berührungspunkte jeder den Flächen S und S' 

 gemeinsamen Tangente die nämlichen m, D-Werte als Flächenkoordinaten bekommen. 



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