28 



A. V. Bäcklund 



wird einer solclien S' ähnlich, so dass dann die zivei Gleichungen [39) und [41') im 

 Baume (C, v) einfach unendlich viele Integrcdßächen gemeinsam haben müssen. 



üiircli die Gleichung (32), wo jetzt \x als eine willkürliche Konstante zu deuten 

 wäre, würde diese Schar von Integralflächen dargestellt sein. In den Gleichungen 

 [39] und (4Ï) Icommt ;j. nicht vor; es stehen dort nur u, v als unabhängige Veränder- 

 liche und C hängt nur von ihnen ab. 



Es folgt übrigens aus (41'), dass 



/a fl 'ÈÎ\ 

 du\C dvj 8 fil] , ^ 



d; ^^^-l2^ 



\ 



ist, wenn i>^\. Daraus haben wir zu schliessen, dass, ebenso wie (41') eine Folge 

 von (39) und (40') ist, müssen umgekehrt mit (39) und (41') sämtliche Derivierte 

 von (39) in Bezug auf \s. erfüllt sein, und dass also die Bedingung dafür dass die 

 besprochenen oo^ Integralflächen durch die Transformation (37), (33) aus einer be- 

 liebigen derselben hervorgehen, durch jene Gleichungen (39) und (41') vollständig 

 ausgedrückt wird. 



12. Die beiden Gleichungen (39) und (41) haben ganz verschiedene Charak- 

 teristiken. Für die erste Gleichung fallen die Charakteristiken mit den Haupttan- 

 gentenkurven zusammen. Für sie hat man nämlich du dv = 0 *. Die Richtungen 

 [du : dv) der Charakteristiken von (41) werden dagegen durch die Gleichung 



i — log o)C 



1 J/ ' \i 2 J ' w \C 



gegeben. Nach Nr. 7 in meiner Abhandlung Zur Theorie der partiellen Differential- 

 gleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann. Bd. 15, ersieht man hieraus, dass jene 

 Gleichungen (39), (41') nicht oo"" Integrale gemeinsam besitzen können, wohl aber oo^, 

 die dann auch für eine dritte Gleichung 2. 0. Integrale werden. Wenn Gl. (39) 

 mit F = 0, Gl. (41') mit ^ = 0 bezeichnet werden, so ist nämlich offenbar die 

 Gleichung 



42 7 , -; -, = ü, Pik = , X. = U, X. — V, 



^ ' Lj\dpik dXidxjc dpik dxidxkj ^, dXidXk ^ ^ 



von allen für F=0, 4> = 0 gemeinsamen Integralen auch erfüllt. Aber wenn die 

 zweiten Deidvierten von C mit r,s,t, die dritten mit ü,v,w,(ä und die vierten mit 

 s^, Sg, £3, £5 bezeichnet werden, so finden wir erstens: 



dF _ - _ rf^> _ - _ 



- — = a° -\- ü -\- a^v -\- a^w, - — = b'' -\- tc -\- v b^ iv, 



dF _ _ ^ f^<ï> - _ _ 



— — = a^ a^^ V -\- «2 w -\- a^ co, — = b^ -\- b^v -\- b^ 10 b^ to, 



* Siehe Sätze usw. S. 19. 



