Zur Transformationstheoiie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung 29 



WO die Abkürzungen ohne weiteres verständlich seien, nämhch 



dF dF dF , d<t> 



«1=——, »o—T"' = T7"i ^1 = Uf^W. 



Es werden a", a^, . . h'^, h^, . . sämtlich Funktionen von u, v, t„p (= d^/du\ q {— d^/dv), 

 r, s, t, weshalb die unseren Integralen geltenden Gleichungen 



— = 0 — =0 — = 0 — =0 



âx^ ' dx^ ' dx^ ' dx^ 



die gehörigen ö in Funktion von u, v, q, r, s, t eindeutig bestimmen. 



Aber zweitens, auch die Gleichungen 



(b) —— = 0 -i^^o 



dxi dxk ' dx.i dxk 

 müssen durch jene Integrale erfüllt sein und nun ist 

 d'-F d^ <[> 



^ = ««^ + a,e, + «,S3 + a3S„ = ^oi _^ 3^ + _^ 



F d^^ 



und demnach wird 



, d'F , , d'-F , , d''F\ / rf2 4> d2 4> ^2$ 

 ^ T77^ + ^2 ^ric + ^3 ^ — «1 ^ + «2 ^tttt: + «; 



du^ ^ du dv ^ dv^ j \ ^ du^ ^ du du ^ dv^ 

 frei von den vierten Differentialquotienten (5^) von C, nämlich gleich dem Polynome 

 (c) b, rt«" + h, + ^3 a^' — «1 ^^''^ — «2 5°' — «3 



das sogar nach Einführtwg aus [a] der Werte von ü, v, w, w, die nebst C, UyV,p, q, r, s, t 

 in a''^, 6* eingehen, nur letztere Grössen ... t als Veränderliche enthält. Wegen (b) 

 ist Gl, (42) erfüllt, d. h. es muss (c) null sein, also muss für die in Frage Jcommenden co^ 

 Integralflächen von F=0, <î> = 0 eine drifte partielle Differentialgleichung von der 

 siveiten Ordnung für C, nämlich 



(42') b^ a«" + &2 a»i + b^ — a^ — a^ b"^ — «3 b^^ = 0, 



auch bestehen *. 



13. Durch die drei Gleichungen (39), (41'), (42') denke ich mir r, s, t bestimmt 

 und stelle hernach die Gleichungen auf: 



dr ds ds dt 



^ ' dv du' dv du' 



die offenbar nach gehörigen Ehminationen von der Form werden: 



* Siehe die eben zitierte Abb. in Math. Ann. Bd. 15 S. 50 Gl. (8) und S. 70 Gl. (26). 



