Einleitung. 



Ich habe in einer vorigen Arbeit * die Kongruenz 



(X+ 1)p — \p — 1=0 (modp v ) (1) 



für v = 2 von, sozusagen, gruppenartigem Gesichtspunkte aus untersucht, indem 

 ich die Lösungen in gewisse Systeme von Gruppen verteilt habe, die gewisse, ein- 

 fachere Kongruenzen von dem sechsten Grade (mod// 2 ), in denen nur eine einzige 

 Konstante &x v , die »Invariante Konstante», auftritt, befriedigen; Beziehungen unter 

 diesen kx v aufgestellt etc.; dazu auch die Bedingung der Existenz einer Lösung von 

 (1) gegeben, indem ich dargelegt habe, dass es notwendig und hinreichend für eine 

 Lösung X = a (modp 2 ) a<Cp wird, dass a der beiden Kongruenzen 



a' p = a -j- Wj p 

 {a+ 1)p = « + l+m lP ( mod ^ 



gleichzeitig genügt. Ich gehe in dieser Arbeit dazu über, Untersuchungen der Kon- 

 gruenzen (1) (mod^ v ) v > 2 anzustellen. Dabei bieten die »gruppenartigen» Ge- 

 sichtspunkte nichts wesentlich Neues, während die notwendigen und hinreichenden 

 Bedingungen der Existenz von Lösungen mehrere interessante Tatsachen hervor- 

 treten lassen. Man wird zu den Entwicklungen 



aP = a -ffMj p 4- m 2 p 2 4- 4-Wv_ijo v-:1 * 

 (a+ l)P = a+ 1 + rc 1 p4-w 2 i> 2 .4- +n v _ip v - 1 ( m0 /n 



gefülirt, und erhält als Bedingungen der Existenz von Lösungen gewisse Kongruenz- 

 beziehungen unter den w t und « x . Deshalb gehe ich dann dazu über, Methoden 

 anzugeben, um die Koeffizienten m x in (2) zu berechnen, wobei in § 2 gezeigt wird, 

 wie eine Koeffizientenbestimmung in einfacher Weise angestellt werden kann, wenn 

 diese für mehrere Zahlen a, &, c etc. gleichzeitig ausgeführt wird, indem man durch 

 sukzessives Lösen (mod p) eines Systems von relativ einfachen, linearen Kongruen- 

 zen die Koeffizienten erhält. In § 3 folgen numerische Beispiele; unter anderem 

 wird nach dieser Methode 



2io?3 = 2 (mod 1093 2 ) 



* A. Arwin: Acta Mathem. Bd é'2. 



