8 A. Arwin 



Für v = 3 



m 1 - n l 



m 2 = n 2 (mod p) 



d. h. 



m 2 = n 2 . 



Im Falle v = 2 wird also die Bedingung der Existenz einer Lösung X 



b 0 p = b 0 -\-m 1 <p 



und wenn diese Bedingung erfüllt ist, ergeben sich alle Lösungen aus 



X = b 0 + (mod p 2 ), 



wo &j beliebig •< p gewählt werden darf. Im Falle v = 3 wird die Bedingung 



l>o p = h o-\- m iP-\-™2P 2 , g 



(& 0 + i )p = b 0 + i + p + m 2 i. 2 (mod P ] 

 und die Lösungen werden aus 



X =E & 0 -f j> + & 2 /; 2 (mod^ 3 ) 



gegeben, wo &j und & 2 beide beliebig << p sind. Für v = 4 ergibt sich 



b 2 



fe 0 (è 0 + 1) (» 8 — ro 8 ) = mj &! — -i- (mod p) (8) 



d. h. wenn m 8 und « 3 als gegeben angenommen werden, dann muss & x einer qua- 

 dratischen Kongruenz (8) genügen, wenn überhaupt Lösungen existieren können. 

 Werden die Wurzeln der Kongruenz (8) und b^ genannt, so erhalten wir zwei 

 Systeme Lösungen 



\ = b 0 -\-b^p+b 2 p^b 3 p s 



\ = b 0 + b^p + b 2 p* + b 3 p* ( m0ä P> 



wo b 2 und b 3 beliebig <ip sind, unter der Bedingung, dass in 



V = b o + m i P + n h f + m z P 3 4 

 (b 0 + 1)p = b 0 + m x V + W 2 p 2 + n, f ^ mod ^ > 



die Werte n 3 und w 3 die Kongruenz (8) (mod p) lösbar machen. Dies setzt voraus, 

 dass nicht b^ = b^ (mod/)) wird; ein Ausnahmefall, der bald ausführlicher be- 

 sprochen werden wird, wobei die beiden Systeme in einen einzigen mit 



b^> = b^ = m 1 (mod p) (9) 



übergehen. Für v = 5 ergibt sich aus (7) 



K — »O 



(b W]2 



*.<*•+!) , , ||f , 



(inodjj) (10) 



{*.(». + 1))' 



