Pie Kongruenzen (X — j— 1 ) ?> — — 1=0 (mod# v ) und die Natur ihrer Lösungen 9 



wo X 3 aus der Kongruenz 



X$(tt 8 , m 3 ; 6 0 , 6/0) (mod/;) 



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bestimmt wird. Das für uns Beachtenswerte liegt darin, dass b 2 in (10) linear 

 eingeht, und dass b. 2 im Falle verschiedener Wurzeln von (8) den Koeffizienten 

 (m 1 — 6/0)^0 (modp) besitzt. Von dem Ausnahmefalle abgesehen, wird also b 2 aus 

 (10) (modj)) eindeutig bestimmt. Im Falle v = 5 erhalten wir dann die beiden 

 Lösungsysteme 



X = b 0 + bf) p + 6,« p> + b s p> + b, p* 

 X = b 0 + 6,« p + V 2 > p 2 4- 6 3 p 3 + b, 



wo b 3 und 6 4 beliebige ganze Zahlen ô/ 1 )^^ 2 ) Lösungen der quadratischen 



Kongruenz (8) sind. Die Werte b^ V) und fr/ 2 ) werden aus (10) berechnet, wenn 

 bzw. & t ® darin eingeführt worden sind. Ferner müssen die Kongruenzen 



/i. i ii« L i i ?! 9i i (modw°) 



(&o + 1 ) p = b o J r m iP + ™ 2 P + « 3 P + »«4 P 



befriedigt sein, wo ?2 3 und m 3 Anlass zum Lösen der Kongruenz (8) geben sollen, 



während die Werte w 4 und m i beliebig sein können. Als Bedingung einer Lösung 



(mod_p s + 3 ) über (modp s + 2 ) für s > 3 hinaus kommt immer -das Bestehen einer neuen 



Kongruenz 



tb s+2 (rt s+ 2, n s+ \, . . .; m g+2 , w s+1 . . .; b 0 . . . b s ) = 0 (modjp) (11) 



hinzu. Suchen wir von (6) ausgehend den Koeffizienten von p s + 2 zu bestimmen, . 

 so finden wir 



m s+2 + b. v + 1(^-6,) + ^ (»', - * 2 + 6x - ^ + ^) + (12) 



+ hzlL _ 6 + 5 , ^ _ ^ _ »Vu 2 ^ s - 3 - ^ - y + 



"t" , »«s °3 -T »2 T ; , h 7). 1 7,2 9-7, 7, 2 + • • ■ 



K \ 3 - 3 ' 2 '. h b 0 b 0 1 fe 0 1 V 2'6 0 6 0< 



und können daraus schliessen, dass in dem Falle, wo die Kongruenz (8) verschiedene 

 Wurzeln besitzt, (11) in b s (s_> 2) immer linear und mit einem von Null verschiedenen 

 Koeffiziente ausgestattet wird. Wir können, wenn wir von dem Ausnahmefalle 

 absehen, folgenden Satz aussprechen: 



Die notwendige und hinreichende Bedingung einer Lösung der Kongruenz 



(X + l)f — \p — 1 =0 ' (modp v ) (1) 



wird ihre Lösbarkeit (mod p l ). Wenn dies der Fall ist, ergeben sich die beiden 

 Lösungsysteme 



x = b 0 + tb v v)p: + b^ 2P » 2 + 6 V _, p- 1 



X = 6 0 -f V S 3 6/ 2 ) P < + b^,p^ + ft v _. ^ 



(modp v ) (13) 



