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A. Arwiii 



wo & v -2 und &v— i beliebig < p ; b^Épb^ Lösungen von (8) sind; und wo die übri- 

 gen b^ l) (i = 1 oder 2) eindeutig aus linearen Kongruenzen bestimmt werden. In 

 den Entwicklungen 



v-1 



V = K + m i P + m 2 P 2 + m sP* + S m t ?j t 



^= 4 (mod p v ) (14) 



(6 0 + l)f = 6 0 + 1 + m x p + m 2 p 2 + n ,.p» + S n t j> T 



müssen n 3 und w 3 (8) lösbar machen; sonst können aber alle m x und n x für t > 4 

 beliebig angenommen werden. Wir haben nun auch den erwähnten Ausnahmefall, 

 wo (8) gleiche Wurzeln (mod p) erhält, zu untersuchen. An die Stelle der beiden 

 Lösungsysteme (modp 4 ) tritt das einzige 



x = h o + m i P + K V 2 + h P s (mod p 4 ) (15) 

 Die Kongruenz (8) selbst kann wegen 



b 1 = m 1 (modp) (9) 



in die Form 



2b 0 (b 0 + 1) (n 3 - n h ) = m * (mod p) (8') 



gebracht werden, d. h. als eine Bedingungskongruenz unter den Zahlen n 3 , m g und 

 m 1 aufgefasst werden. Die Existenz einer Lösung (mod p°) erfordert ausserdem, 

 dass (10) als neue Bedingungskongruenz unter den m v m 2 , m 3 , w 4 , n 3 und n i erfüllt 

 wird. In den Lösungen (mod/) 4 ) werden b 2 und b 3 beliebig; (modp 5 ) alle drei 

 b 2 , b 3 und b r Suchen wir nun auch eine Lösung (modp 6 ), so kommt als hinzu- 

 tretende Bedingungskongruenz eine in b 2 quadratische hinzu. Erstens 



Y -W« «, \ nh " m * b * (9h J_ 



+ ■6. 



und ferner wegen (9) 



V i 



2 &o(6 0 + l) 



(mod p) 



Wird diese Kongruenz mit zwei verschiedenen Wurzeln & 2 (1) und b 2 ^ lösbar, so zeigt 

 uns (12), dass zwar b s fortfällt, dass aber auch alle b s -\ (modp) für s > 3 endeutig 

 bestimmt werden, denn der Koeffizient von 6 s _i verschwindet hier wie im Falle der 

 Kongruenz (8) nur dann, wenn die quadratische Kongruenz in b 2 gleiche Wurzeln 

 aufweist. Kann also (1) in dem oben charakterisierten Ausnahmefalle (mod //') ge- 

 löst werden, so erhalten wir (mod p 7 ) die beiden Lösungsysteme 



l = \ + bJ+b^p?,+ b^p*-\-b iP ± + b,f + b,p« 



wo b v ft 5 und & 6 beliebig ganze Zahlen <p; b 1 Lösung einer quadratischen Kon- 

 gruenz mit gleichen Wurzeln; 6 2 W ^ & 2 (2 -> Lösungen einer zweiten quadratischen 



