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Die Kongruenzen + — )>'' — 1=0 (modj« v ) und die Natur ihrer Lösungen 11 



Kongruenz (inod^>) sind. Die Werte i 3 (1) und werden wiederum eindeutig aus 

 einer linearen Kongruenz (inodju) von den Werten b^ bzw. b 2 ^ bestimmt. Lös- 

 ungen von (1) (mod^ v ) existieren also immer in diesem Ausnahmefalle für jedes 

 v >• 6, wenn sie nur (mod p'') gelöst werden kann. Die beiden Lösungsysteme werden 



X = b 0 + b lP +J \wp" +J}fJ? x 



V T _4 \-i 8 (mody) (17) 



t=2 T=V— 3 



wo & v _ 3 , i v _o und & v _i beliebig sind und wo 6 X und 6 X ^>, wie oben erklärt worden 

 ist, berechnet werden können. In 



V— 1 



V = h 0 + m i P -f "*2 P 2 + 2 »»t P* 



(modp v ) (is) 



(/,„ + 1)p = \ + 1 + m, p r|- f«, + S n t p T 



unterliegen m,, ?» 2 , m 3 , m 4 , w 3 und « 4 bestimmten Bedingungskongruenzen; w 5 und 

 wie müssen eine quadratische Kongruenz in b 2 (mod p) lösbar machen ; alle folgenden 

 m x und n x (z >> 5) unterliegen überhaupt keiner Bedingung. 



In derselben AVeise verhält sich die Sache, wenn die Kongruenz in b 2 auch 

 gleiche Wurzeln aufweisen sollte. Man erhält in diesem Falle wie in dem eben 

 untersuchten die zwei Lösungssysteme 



x==b 0 + b lP + \f ^sVv +jh*p x 



T ~5 'V--, * ( mod P v ) (19) 



X = 6 U + \ p + fc 2 p 2 + S W 2) P*+ S b, P x 



wo die b v für t_> v — 4 beliebig; b 1 und b 2 gleiche Wurzeln quadratischer Kongru- 

 enzen (mod;.;); b^ ^ b s ^ Wurzeln einer dritten quadratischen Kongruenz sind; alle 

 folgenden b^ für x>>3 werden eindeutig aus linearen Kongruenzen (uiodp) bestimmt. 

 In (18) unterliegen die m x und n x bis zu z = 6 bestimmten Beziehungskongruenzen; 

 n 7 und wi 7 müssen die quadratische Kongruenz in 6 3 (modp) lösbar machen; alle 

 m z und n z (z > 7) können beliebige Zahlenwerte annehmen. Aus der Koeffizienten- 

 bildung in der Formel (6), zum Teil in (12) ausgeführt, ersehen wir, wenn beispiels- 

 weise p quadratische Kongruenzen nach einander gleiche Wurzeln erwiesen haben, 

 dass zunächst eine quadratische Kongruenz gefunden werden muss 



A = Bbp+ t — 5!|±î (nio d p) 



und alsdann Kongruenzen 



C=K(JB — i P+1 ) (mod/,), (t>p+l) 



wo A, B und C nur schon bekannte Grössen enthalten, wenn v in dem Modul p v 

 sukzessiv erhöht wird, denn im Koeffizienten von p 2 ?+ s erscheint der Faktor fi 2 p+i, 



