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A. Arwin 



x = /> 0 + 1 b x f 



V — p —3 



+ Ym> 







X = V p 2 





V — p— 3 











T = l 



T = p+1 



T=V p 2 



der im Koeffizienten von />^ ] (v — 1 >^ 2 p + 4) rait 26. & P+ j (t -4- p + 2 = v — 1) 

 ersetzt wird, während andere mit b x multiplizierte Glieder unverändert gleich B 

 werden. 



Nehmen wir also an, dass die p ersten quadratischen Kongruenzen in b x gleiche 

 Wurzeln erweisen, während die p -f- l:te (modp) verschiedene besitzt, so können 

 also die beiden Lösungsysteme 



(mod p v ) (20) 



existieren, wenn die b x für 1 < x < p gleiche Wurzeln quadratischer Kongruenzen 

 (mod p) sind und wenn b^^bi^ Wurzeln der p -f- l:ten quadratischen Kongruenz 

 repräsentieren; è T ® für p -f- 1 <x<v — p — 3 werden aus linearen Kongruenzen 

 (rnodp) bestimmt und die übrigen b x x > v — p — 2 unterliegen keiner besonderen 

 Bedingung. Die Koeffizienten in (18) können für v > 2p + 3 beliebig sein; d. h. 

 wird unter den vorausgesetzten Bedingungen die Kongruenz (1) (mod p 2 ? +i ) lösbar, 

 so kann sie für jedes v > 2p -|— 4 (mod p v ) gelöst werden. 



Denkbar wäre also, dass Lösungen von (1) existierten, für welche alle qua- 

 dratischen Kongruenzen für alle v gleiche Wurzeln erhielten. Wir würden in dem 

 Falle nur ein einziges Lösungsystem haben. Nach (20) wird v aus 



v — p — 3 — p — 1 = 0 

 v = 2p + 4 



bestimmt; d. h. für (modp 2 P+ 4 ) kommt die quadratische Wurzel & P +i hinzu; die p + 2 

 letzten b x können völlig willkürlich gewählt werden. Solche Lösungen existieren in 

 der Tat. Aus der Binomialentwicklung 



(x + i)p_xp-i = p\(i 4- 1) (x> + x + i) 2 / p (x, i) ; 2 J Mr l ZTn +Î ( 22 ) 



folgt nämlich, weil die Lösungen der Kongruenz 



X 2 + X + 1=0 (modjjM-') 

 die nur für p = 6n -4- 1 existieren, die Form 



X = ü> 0 + S (mod pH*) (23) 



haben, wo alle & T eindeutig bestimmt werden können, dass die Kongruenz (1) 

 (mod p 2 (P+ 1 '>+ 1 ) von X in (23) gelöst wird. Dies stimmt aber mit unserem vorigen 

 Resultat (21) völlig überein. In diesem Grenzfalle werden also die Lösungen aus 

 der abgekürzten Gruppe vom zweiten Grade gegeben. In den Formeln (18) brauchen 

 auch nur die m z bekannt sein, dann werden alle n x aus den Kongruenzen (11) ein- 

 deutig berechnet. Wie verhält sich schliesslich die Sache für die abgekürzte Gruppe 



