Die Kongruenzen (X + 1) /J — )- p — 1 = 0 (mod p v ) und die Natur ihrer Lösungen 13 



vom dritten Grade 1, — 2, — i (modj))? Hier verschwinden alle m t und die Kon- 

 gruenz (8) geht in 



4»3 = — b* (inodp) (8") 



über, die niemals gleiche Wurzeln haben kann. Wir erhalten also in diesem Falle 

 zwei Lösungsysteme (13) für b 0 + 1 = 2. Ferner wird in 



2^ = 2 + V v w tJ ^ (mod_p v ) 



Wj und » 2 Null, während w 3 (8") lösbar (modp) machen muss, worauf alle folgenden 

 », keiner weiteren Bedingung unterliegen. 



Damit ist also das Problem, die Natur der Lösungen der Kongruenz (l)(modj? v ) 

 zu bestimmen, völlig erledigt. Hinsichtlich der Möglichkeit, Lösungen wirklich an- 

 zugeben kann ich nur folgendes aussagen: Lösungen, die in vollen Gruppen von 

 dem sechsten Grade stehen, existieren, wie aus der beigefügten Tabelle hervorgeht, 

 nur für p = b9, 79 und 83 [p < 100), die (1) (rnod/> 2 ) aber nicht (mod p 3 ) lösen. 

 Zufolge der Kongruenz 



2 io93 = 2 (mod 1 093 2 ) 



haben wir also auch ein Beispiel davon, dass eine abgekürzte Gruppe von dem 

 dritten Grade (1) (rnodp 2 ) befriedigt, die aber doch keine Lösung (mod^ 3 ) gibt. In 

 Betreff der abgekürzten Gruppe von dem zweiten Grade geben alle Primzahlen 

 p — 6n + 1 Beispiele. "Wir wählen z. B. p = 13 und erhalten als Lösung von 



X 2 + X + 1 = 0 (mod 13) 



X = b 0 = 3. Durch Potenzieren und Ausrechnen ergibt sich 



3 13 = 3 + 11 . 13 + 8. 13 2 + 10. 13 3 + 3. 13 4 . , 



mod 13° 



413 = 4+ 11 . 3 + 8. 13 2 + 8. 13 3 + 9. 13 + v ' 



wo die Koeffizienten bis zu 13 2 , wie es sein muss, übereinstimmen. Die Kongruenz 

 (8) ergibt 



(— 1) (8 — 10)= 116, — + (mod 13) 



d. h. in der Tat 



Aus (10) wird infolge 



(&! — II) 2 = 0 (mod 13). 



(8- 1 Q)-i(ll'- + m 

 X, = - -_i = ___ = 0 (mod 13) 



eine Kongruenz 



