Die Kongruenzen (X-f-1)'' — \ p — 1 '= (mod j> v ) und, die Natur ihrer Lösungen 15 

 oder einfacher 



a ß f — y - H 1 = 0 



a r ft 'c a* 



^'-vf- 0^ + ^ = 0 (mod ju) (28) 

 « 1 f b 1 c cP 



geben. Von diesem in œ, ?/ und g linearen Systeme werden die x, y und g leicht 

 berechnet, vorausgesetzt dass die drei Gleichungen (28) (mod j;) linear unabhängig 

 waren, d. h. die Determinante der Koeffizienten 0 (mod/;). Sollte dies nicht der 

 Fall sein, dann wäre auch eine der Kongruenzen (24) die Folge der beiden an- 

 deren. Nachdem dann x, y und g berechnet worden sind, wollen wir in (24) auch 

 die Koeffizienten der p 2 , nämlich m 2 , n 2 und r 2 mitnehmen, insofern sie nicht 

 schlechtweg Null sind, (25) noch einmal auf p heben, in (26) x, y und m als 

 Koeffizienten der p' 1 gebrauchen, a ap " etc. wie in (27) (mod p 3 ) berechnen, worauf 

 drei etwas modifizierte, lineare Kongruenzen (28) hervorgehen, die aufs neue x, y 

 und g [moåp) bestimmen. In derselben "Weise können alle Koeffizienten m v , n v 

 und r v durch sukzessives Lösen von relativ einfach (wenigstens für niedrigere 

 v — 1, 2, 3 u. 4) gefundenen, linearen Kongruenzen bestimmt werden. Inderselben 

 Weise können wir verfahren, wenn wir in (24) mit m Kongruenzen unter m Prim- 

 zahlen operieren. 



Wir werden zunächst zeigen, wie für jede Primzahl p in einem gewissen Sy- 

 steme immer eine Minderzahl Kongruenzen (24), die nur eine bestimmte Zahl n l 

 der niedrigeren Primzahlen 2, 3, 5 etc. (mod p) enthalten, aufgestellt werden können. 

 Daher wähle ich das spezielle Kongruenssystem 



— ■ m = (p — m) (mod p) (29) 



w =l,2,...^=i 



Soll nun beispielsweise, wie ich es für die Primzahlen p ■< 100 getan habe, eine 

 Tabelle über alle x a ausgearbeitet werden, braucht man offenbar nur die Prini- 



P ~\~ I • • P ~\~ I 



zahlen i — zu berücksichtigen, denn für a > — „ — folgt 



a p = {p — b) v = — h p = — b — x b p = (p — b) — (x b + \)p = a + x a p (mod pi 2 ) 

 p -4- 1 



wo 6< — ^ — als bekannt angesehen werden kann. Um die Werte x a zu berech- 



neu, suchen wir unter den Kongruenzen (29) passend gewählte aus, die unter einer 

 Minderzahl Primzahlen einfache Beziehungen geben. Zunächst können wir berner 



ken, dass eine Primzahl p t <j> in (29) genau 



p-1 



Vi 



Male vorkommt, wo 



Pi 



V — 1 /~\ i 



die ganze Zahl in bedeutet, denn wir können in (29) in Ordnung links nach 



ÏH 



