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A. Arwin 



unten von 1 bis"^— — und ferner rechts nach oben von — - — zu p — 1 rechnen, 



weshalb alle ganzen Zahlen von 1 bis p — 1 in diesem Systeme (29) einmal auf- 

 treten müssen. Ich behaupte nun, und dies wird von mir der Existenzbeweis ge- 

 nannt, dass unter den Kongruenzen (29) eine Anzahl n x so ausgewählt werden kann, 

 dass sie nur n 2 <n 1 der ersten Primzahlen 2, 3, 5 enthalten, oder noch besser: Ich 

 werde darlegen, dass eine obere Grenze dieser Anzahl n 2 immer angebbar wird, für 

 welche n 2 < : )i l sicher erfüllt ist. Die genaue Anzahl n 2 = n^ die sich wirklich 

 erforderlich zeigt, wird durch Prüfen festgestellt. Um mein Verfahren besser ver- 

 ständlich zu machen, werde ich den Beweis auf einem konkreten Beispiele, näm- 

 lich p = 37, durchführen. Deshalb schreiben wir das System (29) voll aus. 



\p — l 



Primzahl unterhall) - 









37 



L P 



22 . 3 2 = — 1 







2 



18 



5. 7 = — 2 







3 



12 



[2.17EEE-3] 



5 2 EE 



— 2 2 . 3 



5 



7 



[3 . 11 ee — 2 2 ] 



[2 3 . 3 EE 



-13] 



7 



5 



2 5 = — 5 



[23 EE 



-2.7] 



11 



3 



[31 EE— 2.3] 



[2.11 EE 



-3.5] 



(mod 37) 13 



2 



. 3 . 5 EE — 7 



3 . 7 EE 



2 4 



17 



2 



[29 = - 2 3 | 



[2 2 . 5 EE 



-17] 



19 



1 



2 2 . 7 EE — 3 2 



[19 = 



— 2 . 3 2 ] 



23 



1 



3 3 EE — 2 . 5 







29 



1 



[2 . 13 EE — 11] 







31 



1 



Hier stehen im Ganzen (mod 37) 18 Kongruenzen. Werden diejenigen gestrichen, 

 die die Primzahlen 31, 29, 23 und 19 enthalten, die jede nur in einer einzigen 

 Kongruenz erscheinen können, bleiben uns 14 Kongruenzen übrig. Werden weiter 

 jene entfernt, in denen 17 und 13 auftreten, die in je zwei verschiedenen dieser 

 übrigen 14 Kongruenzen stehen können, dann werden möglicherweise nur 14 — 2. 2 = 10 

 Kongruenzen übrig, in denen nur die Primzahlen 2, 3, 5, 7 und 11 vorkommen. 

 "Weil jedoch die Zahlen xp ( , wie wir oben gesehen haben, linear in unsere Schluss- 

 formeln und in gleicher Anzahl, wie es Primzahlen gibt, eingetragen werden, kön- 

 nen wir scbliessen, dass unsere Methode auszusondern sicher wenigstens 10 Kon- 

 gruenzen übrig lässt, die die fünf Variabein x Pi {pi = 2< 3, 5, 7 und 11) verbinden. 

 Gehen wir noch einen Schritt weiter und streichen die Kongruenzen, in denen die 

 Primzahl 11 vorkommt (also drei Kongruenzen), so restieren vielleicht nur 7 Kon- 

 gruenzen (in der Tat 8, denn in einer Kongruenz gehen gleichzeitig 11 und 13 ein) 

 mit vier Variabein. Die Bedingung n 2 < n 1 wird also noch immer erfüllt. Gehen 

 wir aber noch einen Schritt und entfernen die Kongruenzen mit der Primzahl 7, 

 dann bleiben vielleicht (wir können darüber nicht absolut entscheiden, insofern wir 

 nicht, wie im obigen Beispiele, die Kongruenzen voll ausgeschrieben haben) nur 



