Die Kongruenzen (X -|- 1) J) — X p — 1 = 0 (modj/) und die Natur ihrer Lösungen 17 



2 Kongruenzen übrig, drei Variabeln enthaltend (d. h. n 2 > »J. Die obere Grenze 

 der Anzahl n 2 , von der wir behaupteten, dass sie existiere, wird also im Falle 

 p = 37 ?i a = 4. Weil jedoch »j dabei einen so hohen Wert wie 7 annimmt, lässt 

 sich vermuten, was in der Tat der Fall ist, dass auch wenigstens die Primzahl 7 

 ausgesondert werden kann. Wir erhalten, wie (30) zeigt, sogar vier Kongruenzen unter 

 drei Primzahlen. Diese vier Kongruenzen sind aber nicht voneinander unabhängig, 

 indem durch in geeigneter Weise ausgeführte Multiplikation der drei Kongruenzen 

 die vierte folgt. Auf ihre Unabhängigkeit müssen immer die aufgestellten Kon- 

 gruenzen geprüft werden. Ergibt sich dabei n 2 — n v ohne dass die Kongruenzen 

 unabhängig werden, dann muss noch eine Primzahl hinzugefügt werden, und die 

 verschiedenen Kombinationen von Kongruenzen wieder auf ihre Unabhängigkeit ge- 

 prüft werden. Ein unabhängiges System muss immer zuletzt gefunden werden, 

 denn es gibt doch Primzahlen, die nur in einer Kongruenz auftreten. 



Wir haben im Falle p = 37 das Bestimmen der oberen Grenze der Anzahl 

 Primzahlen n 2 ausführlich durchgeführt, können aber im allgemeinen Falle für jede 



\p-\ 



Primzahl p mit Hülfe einer Primzahlentafel und der Werte des Symbols 



Pi 



diese Grenze w 2 , ohne die Kongruenzen (30) voll auszuschreiben, berechnen. Wird 

 nämlich die hte Primzahl p=p k genannt, d. h. po die ß:te, so wird die obere 

 Grenze w 2 = ß mit Hülfe der Primzahlentafel von den Ungleichheiten 



i-i . k-i 



Pk — 1] 



Pi 



bestimmt. In dieser Weise berechnet, ergibt sich für n 2 eine obere Grenze, die 

 wenigstens für grössere Primzahlen viel zu gross wird. Unsere Absicht war aber 

 zu beweisen, dass immer eine bestimmte Anzahl Kongruenzen ausgewählt werden 

 können, die eine Minderzahl der sukzessiven Primzahlen 2, 3 etc. enthalten. In 

 vielen Fällen wird es jedoch vorteilhaft, nicht gerade sukzessive Primzahlen 2, 3 

 etc. auszuwählen und auch ausserhalb des Systèmes (29) die notwendige Anzahl der 

 Kongruenzgleichungen zu suchen. Wir wollen jetzt das oben Angeführte mit Bei- 

 spielen erläutern. 



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