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A. Arwin 



§ 3 - 



Für p = 37 haben wir schon die obere Grenze n 2 = 4 bestimmt, indem doch 

 "2 = = 3 genügend war, um die Kongruenzen 



2 2 . 3 2 = — l 



2 5 = — 5 (mod 37) 

 3 3 = — 2 . 5 



aufzustellen. Für 



2 37 = 2 + z 37 



3 37 = 3 + ?/ 37 (mod 37 2 ) 

 5 37 = 5 + 0 37 



ergeben die Formeln (28). 



f* + f + 1 =0 



I g + O y — \ e — \ = 0 (mod 37) 



'S x I ~5 V 5 f T u u 



Das Auflösen dieses Systèmes gibt uns die Werte 



. ' x = 2 



y =17 (mod 37) (31) 

 2 = — 13 



Aus ihnen berechnen wir beispielsweise 



9 37 = 9 — 9.37 



2" = 2 + 2. 37 (mod 37 2 ) 



d. h. 



18 37 = 18 — 0 . 37 



eine schon von Jakobi gefundene Kongruenz *. Wollen wir unsere Tabelle der x pt 

 von den Werten (31) aus vervollständigen, so können wir beispielsweise 7 37 mittelst 

 2.3.5 = — 7; II 37 mittelst 4.11 = 7; 13 37 mittelst ö 2 .2=l3 (mod 37) etc. be- 

 rechnen. Weil aber 2 eine primitive Wurzel (mod 37) ist, hätten wir auch, von 



2 37 = 2 + 2 . 37 (mod 37 2 ) 



ausgehend, alle Werte x pi durch fortgesetzes Potenzieren und Reduzieren (mod 37) 

 gefunden. Wir berechnen zum Beispiel 



(25)3' = 2 5 + 5 . 2 4 . 2 . 37 

 — 5 37 = — 5 + 37 + 12 . 37 (mod 37 2 ) 

 5 37 = 5 — 13 . 37. 



Für p = 61 wird die obere Grenze n 2 = 4; doch genügen die drei Kongruenzen 



P. Bachmann: Niedre Zahlentheoiie Bd I S. 161. 



