Die Kongruenzen (X + If — )J> — 1 =0 (modjp v ) mid die Natur ihrer Lösungen 



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§ 4. 



In dieser Abteilung gehe ich dazu über, den Zusammenhang der Koeffizienten 

 der 2> z in den Lösungen von 



!/ n =l (raodj» v ) (32) 



p — 1 = 0 (mod u) 



auftretend und denen in 



(P==a + Y-w x p x (modV) (2) 

 i 



zu erweisen, und darzulegen, wie unsere Methode, wie wir sehen werden, dadurch 

 in vielen Fällen vorteilhaft modifiziert werden kann. Gesetzt also, dass p — 1=0 

 (mod n) und 



a"^l (modj;) 

 gelten, dann wird x 1 von der Kongruenz 



• " («•+■*! 'J*)" =1 (modp 2 ) (33) 



bestimmt. Infolge 



a n = 1 (mod p) 

 a»i>==l (rnod^ 2 ) 



und wegen (33) und (2) erhalten wir 



a 4" x iP = a "f" m \P (modp 2 ) 



oder 



x t ^ m 1 " (mod p) (34) 



d. h. x x in (33) und m t in (2) zu berechnen werden im Grunde identische Probleme. 

 Für die grösseren Primzahlen und die niedrigeren Exponenten n (beispielsweise 

 3, 4 und 6) wird aber die direkte Berechnung der Zahl x 1 in (33) das einfachere 

 Problem. Nach dem aber die a zugehörige m 1 =a; 1 von (33) bestimmt worden ist, 

 ergeben sich durch Potenzieren die Koeffizienten der p in noch n — 2 Entwick- 

 lungen (2). Mit Rücksiebt auf diese so gefundenen Werte kann im allgemeinen 

 eine Vereinfachung der Methode des vorigen Paragraphen erzielt werden. Wir wer- 

 den dies bald mit Beispielen erläutern, wollen aber zuerst untersuchen, in welchen 

 Beziehungen die folgenden m x und entsprechenden Koeffizienten x x der p x in den 

 Lösungen von (32) stehen. Aus 



und 



erhalten wir 

 d. h. 



(a 4- x 1 p 4- x 2 p' 2 ) n = 1 (mod p 3 ) 



i-r i* ^ (mod p 3 ) 



aP? s « 4- m x p 4- [m l 4- m 2 )p z 



a 4- m 1 p 4- (m 1 4- m 2 )p 2 = a 4- x t p 4- x s p 2 (mod p 3 



