Die Kongruenzen (X -J- l) p — — 1—0 (inodj) v ) und die Natur ihrer Lösungen 25 



m v ~ x = c 1 *- 1 — - n (mod p i 



c 



Aus 



m p ~ l = 1 -f- ^ £ p m 

 cP-J = i -\-pl pC 



finden wir 



(mod p 2 ) 



v 



lp m = lp C — - (mod p). (40) 



Diese nennen wir die »erste Fundamentaloperation» des Z p -Rechnens. Von 



' ^ mod ju ) 



&p-i = 1 v 11 



ausgehend, erhalten wir 



{ab)"-' = 1 + p{l v a + lp b) (mod ^ 2 ), 



d. Ii. 



Z p aft = lp a Ipb (mod _p) (41) 



die uns »die zweite Fundamentaloperation» gibt, und das / P -Rechnen zu einer Art 

 zahlentheoretischer Logarithmisierung macht. Von (39) entnehmen wir 



l p c = lp{— c) 

 l p l=0 



wie auch von (41) 



lp a a — - o. lp a (mod p). 

 Werden nun die Operationen l p beispielsweise auf der Kongruenz 



a a := — b$ cf -f m x p (mod p 2 ) 

 ausgeführt, so entsteht die Kongruenz 



al p a==ßl p b 4- ^l p c + - T i - (modjj), 



d. h. 



a Z p a — ß lp b — y l p c -j ^ = 0 (mod p). 



Diese Formel haben wir aber schon in (28), wenn in der ersten Gleichung 



cc 



- = lp a (mod p) 



et 



gesetzt wird, erweisend, wie in der Tat diese Formeln (28) durch Einführen der l p - 

 Operationen leicht aufgestellt werden können. Um Wiederholungen zu vermeiden, 

 will ich nur ein paar numerische Beispiele anführen. Von 



2 A = — l + l . 17 



ausgehend ergeben die Operationen Z 17 ohne weiteres 



