Die Kongruenzen (X -f- t) p — X'' — 1=0 (modj> v ) und die Natur ihrer Lösungen 



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von denen diejenige für k — l von Herrn Lerch * angegeben worden ist. Derartige 

 Formeln mit Verallgemeinerungen können vervielfältigt werden. 



Ich werde jetzt einige von mir herrührenden neuen Formeln herleiten, die 

 von viel grösserer Bedeutung als die eben angeführten sind, und als Vereinfachungen 

 von Herrn Lerch's Formel (42) angesehen werden können, indem durch passende 

 Auswahl der in die Summe eingehenden Elemente bewirkt werden kann, dass man 

 in dem Falle, wo a zu den Exponenten n(ns—p — 1) gehört, nur über n — 1 

 Elemente, ja sogar über eine noch geringere Anzahl zu summieren braucht, was 

 offenbar für die niedrigeren Exponenten n eine beträchtliche Vereinfachung herbei- 

 führt, und diese Formeln wirklich numerisch verwendbar macht. 



Mit der Bezeichung 



rt v = a v (mod p), 



wo a v den positiven Rest (mod p) bedeutet, wird uns 



aa v = (/ v +i + r v p 



oder 



(mod p 2 ) 



Clü\i "v+l 





aa v 





(l+*.f 





) 



\ aa, 







vermitteist der Operationen l p folgende Kongruenzgleichung 



lp a -\- lp a v — lp a v +i 



1 



aa v 



an. 



P 



(mod p) 



gegeben. Wird über v = 1, 2 . . % — 1 summiert, ergibt sich 



X — 1 X 1 X 1 



(t — 1) lp a+^h «v = J] b «v+i — 2 ~ 



aa. 



P 



(mod p) 



d. h. 



a L a r — — 

 ' Li aa,, 



aa. 



p 



(mod p). 



(45) 



Können wir aber l p a x in einfache Beziehung zu I p a bringen, so haben wir in (45) 

 einen vereinfachten Ausdruck für l p a gefunden. Gehört beispielsweise a zu dem 

 Exponenten n, so wird für z — n a n = l, und (45) nimmt die Gestalt 



nip a 



n-l 



=-y- 



aa. 



IP J 



(mod p), 



(46) 



die unsere gesuchte und oben erwähnte Formel darstellt und nur n — 1 Elemente 

 in der Summe in allen Fällen, wo a zu dem Exponenten n gehört, enthält. Ge- 

 setzt dass n ungerade ist, dann gibt uns 



'* M. Lerch: Math. Annalen Bd 60. S. 483 Formel (25*). 



