Die Kongruenzen (X + l) p - XP — 1 =(mod^ v ) und die Natur ihrer Lösungen 33 



die unsere »erste Fuiidamentaloperation l p *» definiert, während die »zweite» von 



(me)!'- 1 = 1 + pl p mc + p- l p ~ mc (mod p B ) 



und nach (50) als 



lpi mc _ V^+Jpç -l„tnc + ^ m + h , c + ^ ^ c (mod p) (52) 



definiert wird. 



Die Formeln (51) für m = aa v c = a v +i und n = 0 und (52) geben uns nach- 

 einander 



lp aa, — lp a v +i + 



P 



1 



— - + lp 2 aa v = lp* a v+1 



aa» 



aa., 



1 



«v+1 



aa. 



(mod p) (53) 



und 



l p * aa, = lp* a + 1/ a v + l p a l p a v + l " a + l i>^~ h «S (m0(1 p)> (54) 



aus denen beiden 



// « + lp 2 «v — a v+i 



/j, « -|- /y, O v //, «y4-l -f" 



a v +i 



1> 



\aa v 



+ 



i 







aa v 





(mod p) 



(55) 



hergeleitet wird. Gesetzt dass a zu dem Exponenten n gehört, summieren wir von 

 v = 1 bis ii — 1 und erhalten 



n-l 



nip a -f 



ulp- a = 



aa- t 

 P 



1 



11— \ 



n— 1 



lp aa v 

 aa u 



+ 



n— 1 



Quadrieren wir in 



Z p aa v -f 



aa„ 



aa v 



aa. 



[mod p). 



(56) 



und bilden die Summe für v = 1, 2 . . . n — 1, so entsteht 



n(l P af + ^ 



aa, 



2 1 



(aa v 



2/ P « V a v - 2 £ 

 i 



iß CtCly 



aa. 



a a 



die in (56) eingeführt mit Rücksicht auf (46) den gesuchten Ausdruck 



n—i 



nl p « -f 5j 



2nl p 2 a = — 2 



aa v 



1 



2 J . 



av+i 



Ji— 1 



+ w(i„ *)« + ^ 



aa s 

 P 



(aa, 



