Die Kongruenzen (X -f- l) p — ^ p — l=(motlp v ) und die Natur ihrer Lösungen 35 

 531 = 5 + 14 . 31 _|_ IQ . 3p ( mod 31 8j 



berechnet. Nach (35) muss also eine Kongruenz 



(5 + 14 . 31 — 7 . 31 2 ) 3 = 1 (mod31 3 ) 



befriedigt sein, was auch leicht bestätigt wird. 



Schliesslich will ich zeigen, wie das /^-Operieren auch für die Methode der 

 Paragraphen §§ 2 und 3 verwendet werden kann. Deshalb wollen wir vorher eine 

 allgemeine Formel aufstellen, die zwar aus (52) hergeleitet werden kann, aber besser 

 direkt berechnet wird. Wir erheben (50) auf die n:te Potenz 



a n(p-i) == 1 _|_ m p l p a + p 2 {nl p 2 a + (] p a)*) {mod p B ) 



und erhalten wegen 



a n{p-\) — 1 _|_ a n _|_ p2 l p 2 a n ( mo( J ^2) 



den gesuchten Ausdruck 



l p 2 a n == nip 2 a + [l p a) 2 + S- '-— (mod p). (58) 



a p 



Liegt nun die Gleichung 



a J - &ß = ö -f r p 



vor, dann wird mit Rücksicht auf die erste Operation l p 2 folgende Kongruenz 



+ l p 2 a"- $ = lp 2 c'i —^lp a" $ + ~ (mod p) (59) 



bestimmt, die nachher vermittelst der zweiten Operation l p 2 und der beiden ^-Opera- 

 tionen weiter reduziert werden kann. Wie eine solche sukzessive Auflösung von 

 (59), bis eine lineare Kongruenz hervorgeht, die nur l p 2 a, l p 2 b und l p 2 c verbindet, 

 ausgeführt werden kann, wird mit folgendem Beispiele erläuterte. Von 



54 = — 5 + 1 . 59 



32 = — 27 + 1 . 59 (60) 

 60 = + 1 + 1 . 59 



ausgehend und wegen der folgenden Werte l p a > 0 



* S9 2 = 8 



l 69 3 = 41 (mod 59) (61) 

 Z 59 5 = l 



berechnen wir zufolge (59) aus der ersten Gleichung (60) 



f " 54 ~^ 5 ^ i + l 5 , 2 54 = LJ 5 + \ l 59 54 - i (mod 59). « 



Aus 



Z 59 3 = 41 



finden wir 



