Über verschiedene Gesichtspunkte hei der Grundlegung der mathematischen Analysis 5 



Reihe (positiver) ganzer Zahlen durch unmittelbare Intuition gegeben ist. Da aber 

 dies nicht so zu verstehen sein kann, dass alle Eigenschaften der ganzen Zahlen 

 der unmittelbaren Intuition zugänglich sind, so müssen die verschiedenen Momente 

 der Intuition näher angegeben werden. Man will dann etwa so sagen: jede Zahl 

 hat eine bestimmte nachfolgende, und jede mit Ausnahme für eine einzige (die 1) 

 auch eine nächstvorangehende. Dies ist aber eine sehr unvollständige Charakteristik 

 der Zahlenreihe; und sie wird (bekanntlich) auch nicht vollständig, wenn man die 

 allgemeinen Begriffe »vor» und »nach» einführt und hierbei festsetzt, dass wenn 

 b nach a folgt, und c nach b, dann auch c im Verhältnis zu a nachfolgend ist. 

 Dagegen reicht es hin, wenn man noch dies hinzufügt: jede spezielle Zahlenmenge 

 hat (wie die ganze Menge) ein erstes Element, d. h. enthält eine Zahl, welche den 

 übrigen zur Menge gehörenden vorangeht. (Die heutzutage bekannte Tatsache, 

 dass dies nicht aus den übrigen Forderungen folgt, lässt sich durch einfache Bei- 

 spiele nachweisen. Ein solches Beispiel: die Menge aller rationalen Zahlen der 



^ j I 



Form oder 2 ± - — — ; die Zahlen von dieser letzten Form haben kein erstes 



n n 



Element, da sie sich gegen 1 häufen, ohne dass die Zahl 1 zur Gesammtmenge 

 gehört). — Jetzt lässt sich — wie man weiss — das Prinzip der (fini ten) mathema- 

 tischen Induktion (Beweismethode von n zu n -f- 1) mit Leichtigkeit hervordedu- 

 zieren: ein von n abhängiger Satz gelte für n -\- 1, wenn er für n gilt, und sei 

 überdies für n = 1 wahr; dann gilt er für alle n; mau betrachte nämlich diejenigen 

 Zahlen, für welche der Satz eventuell nicht gilt; unter ihnen giebt es nach der 

 letzten der obigen Festsetzungen eine erste e; e ist nicht die Zahl 1, für welche 

 der Satz ja gelten sollte; also hat e eine nächstvorangehende Zahl y; für n = v ist 

 der Satz gültig, da e die erste Zahl bedeuten sollte, welche Ungültigkeit giebt; aus 

 Gültigkeit für n = v folgt aber nach der Annahme auch Gültigkeit für n = v -f- l = e; 

 dieser AViderspruch zeigt die Richtigkeit der Behauptung, d. h. die Gültigkeit des 

 Induktionsprinzips. Und wenn man dieses Prinzip erreicht hat, besitzt man hin- 

 reichende Voraussetzungen um die für ganze positive Zahlen geltenden Rechnuugs- 

 gesetze zu deduzieren. 



Was kann nun gegen den so beschriebenen Standpunkt einzuwenden sein? 

 Jedenfalls folgende zwei Dinge. Erstens: es wurde nicht nachgewiesen, dass die 

 festgestellten Bedingungen mit einander verträglich sind, m. a. W. dass das System 

 von Bestimmungen an keinem latenten Widerspruch leiden; die Intuition könnte 

 ja möglicherweise irre führen, betrüglich sein. Und zweitens wurde ja nicht die 

 Zahlen als solche beschrieben, sondern lediglich Relationen unter ihnen; und ganz 

 dieselben Relationen können auch zwischen anderen Dingen bestehen, z. B. zwischen 

 Punkten auf einer geraden Linie; definiert wurde nur den Begriff einer einfachen 

 unendlichen Reihe von Dingen. 



Eine mögliche Antwort auf diese zweite Einwendung wäre ganz einfach die 

 folgende: die ganzen Zahlen sind nur Symbole, mittels deren man die verschie- 

 denen Glieder einer einfachen Reihe markiert. Und zur Frage nach der Wider- 



