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T. Biodén 



spruchsfreiheit könnte man sich etwa so stellen : freilich kann es von theoretischem 

 Interesse sein, einen streng logischen Beweis dafür nachzustreben ; aber auch ohne 

 einen solchen Beweis kann man doch schwerlich auf der "Widerspruchsfreiheit 

 zweifeln. 



Man muss den hiermit angegebenen Standpunkt gewissermassen respektieren. 

 Es ist, kann man sagen, die natürliche Auffassung der »unphilosophischen» Mathe- 

 matiker, welche freilich eine gewissermassen feste Formulierung der Prinzipien zu 

 schätzen wissen, aber für eine mehr tiefgehende Entscheidung über das Verhältnis 

 zwischen Mathematik und Erkenntnistheorie oder überhaupt die philosophische Be- 

 deutung der Mathematik mehr gleichgültig sind. Und zu ihnen können ja — leider 

 — auch sehr geniale Mathematiker gehören. Und ferner: es ist nicht ausgeschlos- 

 sen, dass auch im vorliegenden Falle, wie es nicht selten geschieht, ein gründliches 

 Nachdenken dazu führen kann, dass man wenigstens in gewissen Hinsichten einer 

 naiveren Auffassung Recht giebt. 



An die Theorie der Zahlen schliesst sich übrigens die Betrachtung des Zählens. 

 Das Zählen besteht darin, dass man, von einem gewissen Dinge ausgehend, Schritt 

 für Schritt je ein neues Ding hinzufügt. A priori giebt es für dieses Verfahren 

 keine Grenze : es lässt sich denken, dass jedem Schritte ein neuer folgt. Aber die 

 logische Charakterisierung des Prozesses ist hiermit nicht abgeschlossen : der Inhalt 

 desselben muss damit äquivalent sein, dass die gezählten Dinge eine einfache Reihe 

 bilden, im oben angegebenen Sinne. Die ganze Situation wird nicht wesentlich 

 dadurch verändert, dass man den Gesichtspunkt eines Prozesses eingeführt hat: 

 nur werden die Begriffe »vor» und »nach» mit »früher» und »später» im Prozesse 

 gleichbedeutend. 



Es mag hier noch daran erinnert werden, dass den Begriff der Anzahl nicht 

 mit dem Begriffe Zahl zusammenfällt, sowie auch dass »Gleichheit in Anzahl» sich 

 leicht definieren lässt, während dies bei dem nackten Begriffe Anzahl sich jedenfalls 

 ungleich schwerer fällt. 



Bisweilen giebt man der Grundlegung der Zahlenlehre einen gewissen philo- 

 sophischen (oder quasiphilosophischen) Anflug, ohne dass es von tiefer gehenden 

 philosophischen Erwägungen die Rede ist. 



Gewissermassen gilt dies z. B. bei H. Hankel, als er in einem bekannten 

 Buche 1 sagt: »Was es heisst, ein Objekt 1 mal, 2 mal, 3 mal . . . denken oder 

 setzen, kann bei der principiellen Einfachheit des Begriffes der Setzung (Position) 

 nicht definiert werden. Eine absolute, ganze Zahl 1, 2, 3 ... sagt aus, es solle ein 

 Objekt I, 2, 3 ... mal gesetzt werden, und es bedeutet le, 2e, 3e . . . das Resultat 

 der wiederholten Position von e.» Da dieser Ausdruck »wiederholte Position eines 

 Objektes» ganz unvermittelt auftritt, so kann es wenigstens aussehen, als ob es sich 



1 Theorie der complexen Zahlensysteme. Leipzig 1867. S. 1. 



