Über verschiedene Gesichtspunkte bei der Grundlegung der mathematischen Analysis 7 



um etwas »metaphysisches» handelte (etwa im Sinne Kants). Aber der Ausdruck 

 braucht ja nur so aufgefasst werden, dass man von den Verschiedenheiten der ge- 

 zählten Dinge absieht, obgleich sie verschiedene Objekte sind, wodurch das ganze 

 sich darauf reduziert, dass man sich — wie so oft in der Mathematik vorkommt — 

 der Bequemlichkeit wegen eine uneigentliche Ausdrucksweise benutzt. 



Eine analoge Äusserung findet man bei Poincaré 1 : die Überzeugung von der 

 Zuverlässigkeit der mathematischen Induktion »kommt daher, weil es nur die Be- 

 stätigung der Geisteskraft ist, welche überzeugt ist, sich die unendliche Wiederho- 

 lung eines und desselben Schrittes vorstellen zu können, wenn dieser Schritt einmal 

 als möglich erkannt ist. Der Verstand hat von dieser Macht eine direkte Anschau- 

 ung, und die Erfahrung kann für ihn nur eine Gelegenheit sein, sich derselben 

 zu bedienen und dadurch derselben bewusst zu werden.» Diese nicht besonders 

 krystallhellen Worte wollen, näher präzisiert, eine Antwort auf die Frage geben, 

 warum wir ohne weiteres davon überzeugt sind, dass der Begriff einer einfachen 

 Reihe keinen Widerspruch verbirgt. Bevor man aber diese Frage überhaupt stellt, 

 soll man doch präzisiert haben, was unter einer einfachen Reihe zu verstehen ist 2 . 

 Und die ganze Frage ist übrigens von komplizierter psychologischer Natur. 



Neuerdings hat sich G. Mittag- Leffler über den Begriff der ganzen Zahlen 

 ausgesprochen, in einer Weise, welche — so viel ich sehe — mit der Poincaré- 

 schen in ziemlich guter Übereinstimmung steht. Es geschieht in zwei Schriften 3 , 

 welche den Hauptzweck haben dürften, die Weierstrass'sche Theorie der Irrational- 

 zahlen in definitiver Form darzustellen. Einige Bemerkungen im Anschluss zu 

 diesen Schriften folgen weiter unten. 



Aber hier noch einige Worte über Poincaré. Natürlich ist er nicht zu den 

 »unphilosophischen» Mathematikern zu zählen, da er sogar von sehr lebhaften 

 philosophischen Interessen beseelt war. Aber seine Bedeutung für »die mathema- 

 tische Disciplinierung der Philosophie» (dieser Ausdruck geht auf Helmholtz zu- 

 rück) steht zu seinem grossen mathematischen Genie in gar keinem Verhältnis. 

 Und er ist als Philosoph von verschiedenen Seiten her vielfach überschätzt worden. 

 Ich kann mir das Vergnügen nicht versagen, in diesem Zusammenhange einige 

 denkwürdige Worte zu zitieren, welche ein bekannter Mathematiker geäussert hat. 

 In einem sehr lesenswerten Buche 4 sagt E. Study : »Die populären Schriften Poin- 

 carés sind gewiss lesenswert; wir wollen die Gelegenheit nicht vorübergehen lassen, 



1 Wissenschaft und Hypothese. 2. Aufl. Leipzig 1906. S. 13. 



2 Der Vollständigkeit wegen soll hier nicht unerwähnt bleiben, dass Poincaré 1. c. p. 12 

 auch den Ausspruch hat: »Das Urteil, auf welchem die Entwicklung durch das rekurrierende Ver- 

 fahren beruht, kann in andere Formen gesetzt werden; man kann z. B. sagen, dass es in einer 

 unendlichen Menge von verschiedenen ganzen Zahlen immer eine gibt, welche kleiner ist als alle 

 übrigen.» Vgl. oben. 



3 Les fondements de la théorie des nombres. Revue générale des sciences pures et appli- 

 quées. T. 26 (1915), p. 504 — 11. — Talet, inledning till teorien för analytiska funktioner. Det Kg]. 

 Danske Videnskabernes Selskabs math.-fys. Meddelelser II, 5. Köbenhavn 1920. 65 S. (Schwedisch.) 



4 Die realistische Weltansicht und die Lehre vom Räume. Braunschweig 1913. Man sehe S. 120. 



