Über verschiedene Gesichtspunkte bei der Grundlegung der mathematischen Analysis 1 1 



Die Richtigkeit hiervon ist unmittelbar ersichtlich — unter der Voraussetzung, 

 dass die Widerspruchstypen auf die beiden genannten beschränkt sind. Dann kann 

 nämlich zufolge den Annahmen des Satzes weder die eine noch die andere dieser 

 Widerspruchsarten entstehen. Dies ist jedoch so zu verstehen, dass kein Wider- 

 spruch auftreten kann, so lange man lediglich mit der Menge nebst ihrer Elemente 

 und Teilmengen zu tun hat. Wenn man in irgend einer Weise das Gebiet erwei- 

 tert, so muss man sich davon überzeugen, dass diese Erweiterung nicht eine Mög- 

 lichkeit von Widersprüchen mit sich bringt; und hierbei kann etwa wiederum der- 

 selbe Satz zur Anwendung kommen. Und ich zweifle meinetwegen nicht daran, dass 

 eben dieser Satz für die Wiederspruchsfrage von fundamentaler Bedeutung ist. 

 Aber freilich muss man bei der Anwendung desselben mit Vorsicht hervorgehen und 

 darauf achten, dass man nicht Grenzen überschreitet, innerhalb deren der Satz die 

 Widerspruchsfreiheit gesichert hat. 



Namentlich geht in dieser Weise die Widerspruchsfreiheit einer einfachen 

 Reihe und damit auch die Reihe der ganzen Zahlen hervor, was auch die Gültig- 

 keit der (hinten) mathematischen Induktion mit sich bringt 1 . Soviel ich sehe, kann 

 man noch weiter gehen und die Widerspruchsfreiheit der ganz allgemeinen Wohl- 

 ordnung (und damit die Zulässigkeit der transfiniten Induktion) konstatieren. 



Andererseits lassen sich gewisse »Paradoxieen» dadurch erklären, dass man mit 

 Definitionen zu tun hat, welche den Anforderungen unseres Satzes nicht genügen. 

 Es ist z. B. leicht zu finden, dass dies bei der sog. Burali-Forti'schen Antinomie 

 gilt (man sehe die unserem Texte beigefügte Note). Und ich glaube, dass es bei 

 jeder einigermassen respektablen Paradoxie der Fall ist, welche sich überhaupt in 

 einer wirklichen Reallogik offenbaren kann (in einer provisorischen Formallogik 

 liegen die Verhältnisse anders) — doch mit einer Ausnahme, die »Antinomie der 

 endlichen Bestimmbarkeit». Sie nimmt eine ganz besondere Stellung ein. Sie 

 beruht, kurz gesagt, darauf, dass man das logisch mögliche und das vom mensch- 

 lichen Standpunkte aus vollständig definierbare verwechselt — oder, anders ausge- 

 drückt, dass man den Umstand nicht beachtet oder erkennt, dass der unvollkom- 

 mene menschliche Intellekt über sich selbst hinaus weist und logische Gebiete, für 

 welche ein vollständiges Durchdringen ausgeschlossen ist, doch in gewissen Hin- 

 sichten beherrschen kann (Beispiel : wir können die Menge aller reellen Zahlen und 

 ihre gegenseitigen Lagen vollständig definieren, nicht aber für jede Zahl eine indi- 

 viduelle Definition geben). 



Hiermit verwandt und .sogar direkt zusammenhängend ist die leider allzu 

 übliche Geneigtheit, der successiv vorgehenden Zähhing eine prinzipielle Bedeutung 

 beizulegen, welche ihr nicht zukommt 2 . Ihre psychologische Bedeutung ist natürlich 



1 Vgl. eine Scbrift des Verf. »Über die finite und die transfinite mathematische Induktion>. 

 Acta univ. Lundensis. Neue Folge. Abt. 2. Bd 14. Nr 14, S. 14—15. 



2 Hierüber beklagt sich auch F. Bernstein , im obenerwähnten Artikel im Jahresbericht d. 

 deutschen Math. -Ver. Auch in anderen Hinsichten scheinen seine Ansichten mit denjenigen des 

 Verf. in guter Übereinstimmung zu stehen. Und jedenfalls giebt der lesenswerte Aufsatz eine 

 gute Orientierung im fraglichen Wissenschaftsgebiete. 



