('bot' verschiedene Gesichtspunkte bei der Grundlegung der mathematischen Analysis 13 



unabhängigen Mengen begriff definiert werden. Von dieser Auffassung aus muss es 

 als eine Unklarheit erscheinen, wenn man die Zahlenbildung so besehreiben will, 

 dass dieser oder jener Schritt etwa dreimal wiederholt wird, worauf »in derselben 

 Weise» fortgesetzt werden soll. Was bedeutet dieses »in derselben Weise»? (Vgl. 

 oben S. 5 — 7.) Letzten Endes werden die ganzen Zahlen lediglich Symbole, welche 

 (etwa in der Form von »Dualzahlen») durch Induktion definierbar sind, nachdem 

 man den Begriff einer einfacher Reihe festgestellt hat, was wiederum möglich ist 

 unter alleiniger Voraussetzung der Begriffe Menge, Element, Teilmenge, ohne un- 

 vermittelte Einführung von den Begriffen »vor» und »nach» 1 . — Die am meisten 

 naturgemässe Einführung des Begriffes »unendlich» soll hier nicht näher diskutiert 

 werden. Und ebensowenig die Frage von der Einführung der irrationalen Zahlen. 

 In dieser Hinsicht sei nur beiläufig bemerkt, dass ich mich von meinem Stand- 

 punkte aus nicht habe überzeugen können, dass die Weierstrass'sche Definitionsart 

 denjenigen Cantors und Dedekinds vorzuziehen wäre. 



Aber zwei Dinge müssen hier noch gesagt werden. Erstens: eine Auffassung 

 wie diejenige, welche Mittag-Leffler ausgesprochen hat, oder irgend eine dämit ver- 

 gleichbare suspendiert nicht von der Verpflichtung, die einfache Reihe logisch voll- 

 ständig zu- beschreiben (vgl. S. 5). Zweitens — und dies ist bei weitem wichtiger: 

 eine derartige Auffassung giebt keineswegs dazu Befugnis, der Frage nach Wider- 

 spruchsfreiheit den Rücken zuzukehren. Wer möglicherweise so etwas behaupten 

 will, aber dennoch auf logische Gründlichkeit Anspruch erhebt, macht sich das 

 ganze allzu bequem. 



Diese 'Frage ist und bleibt eine Kardinalfrage. Und es ist sehr erfreulich, 

 dass heutzutage so viele und so tiefgehende Untersuchungen vorliegen, welche zur 

 Ermittelung derselben beitragen wollen (Hilbert, J. König, Zermelo, Schönflies, Brou- 

 wer, H. Weyl, Russell u. A.). Es liegt nicht im Plaue dieses Aufsatzes, eine ein- 

 gehende Beurteilung dieser verschiedenen Untersuchungen vorzubringen. Und ich 

 finde es dann am besten, jede eigentlich kritische Äusserung zurückzuhalten. 

 Es sei nur ganz allgemein bemerkt, dass man, so viel ich weiss, niemals von an- 

 derer Seite her den oben hervorgehobenen Gedanken ausgesprochen hat, die Wi- 

 derspruchsfrage in Verbindung mit Aufstellung einer systematisch durchgeführten 

 Reallogik zu stellen. Mit diesem Gedanken sind jedoch, so viel ich verstehe, die 

 Bestrebungen gewisser der genannten Forscher einigermassen verwandt. Namentlich 

 sei in dieser Hinsicht auf eine bekannte Abhandlung von Zermelo hingewiesen 2 . 

 Mit derselben — sowie übrigens auch mit gewissen anderen Untersuchungen Zer- 

 melos (vgl. oben) — haben meine eigene Bestrebungen sogar gewisse direkte Be- 

 rührungspunkte. 



1 Man sehe die oben erwähnte Schrift des Verf. »Über die finite und die transfinite mathem. 

 Induktion», S. 3—6, 12 — 14. Die dort hervorgehobenen Gesichtspunkte sind übrigens mit gewissen 

 von Zermelo dargestellten Entwicklungen nahe verwandt. 



5 Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. Math. Annalen Bd 65. (1908), 



