Übet verschiedene Gesichtspunkte bei der Grundlegung der mathematischen Analysis 15 



fassten Schrift »Om begreppens dialektiska upprinnelse» (Lund 1915), welche jedoch 

 in wichtigen Hinsichten ergänzt (und gewissermassen auch korrigiert) werden muss. 

 Hinsichtlich der philosophischen Seite der Sache, sei hier kurz erwähnt, dass die- 

 selbe wesentlich darauf hinausläuft, den Anhängern eines objektiven Realismus 

 geschärfte Verteidigungswaffen in die Hände zu setzen. Ein verfeinerter, von em- 

 piristischen Grobheiten und Oberflächlichkeiten geläuterter Realismus darum 

 handelt es sieb ; natürlich ohne Anspruch auf logisch vollständig bindende Beweis- 

 führung. 



Note über die Antinomie von Burali-Forti. »Die Menge (W) aller (fin. u. transfin.) Ord- 

 nungszahlen» bildet eine wohlgeordnete Reihe mit einer bestimmten Ordnungszahl ß. Und diese 

 Zahl muss die grösste Ordnungszahl sein. Aber es giebt keine grösste Ordnungszahl, da die 

 wohlgeordnete Menge (1 . . . ß) den Typus ß -j- 1 hat, und ß -j- 1 > ß ist. ß + 1 ist also gleich- 

 zeitig Element in TT und nicht Element. Gegenüber diesem Widersprüche könnte man ganz 

 einfach sagen wollen, dass derselbe unmittelbar die Illegitimität des ganzen Begriffes »aller Ord- 

 nungszahlen» offenbart. Und diese einfache »Erklärung» der Antinomie wäre keineswegs ohne 

 weiteres abzuweisen. Von reallogischem Standpunkte aus ist jedoch einzuwenden, dass die »Ord- 

 nungszahlen» lediglich Symbole sind, und dass die Antinomie in rein reallogische Form überführt 

 werden soll. Man denke sich eine wohlgeordnete Menge M (mit lauter verschiedenen Elementen — 

 dass zwei Elemente einer Menge mit einander identisch sind, ist eine Sinnlosigkeit); ihre Ele- 

 mente stehen in (1, l)-deutiger Beziehung zu einer Reihe von Ordnungszahlen. Wenn nun diese 

 Reihe »alle Ordnungszahlen» umfassen soll, bedeutet dies in Bezug auf die Menge M, dass sie 

 überhaupt alle mögliche Gedankengegenstände enthält (vgl. die »Menge aller Mengen»). Die Un- 

 möglichkeit dieser Monstruosität lässt sich leicht streng nachweisen. Da nämlich M alles mög- 

 liche enthält, so sind z. B. auch alle Teilmengen von M zugleich Elemente in M. Dies ist aber 

 nicht möglich, da die Menge D aller Teilmengen von M grössere Mächtigkeit als M selbst hat, 

 was bekanntlich in folgender einfacher Weise nachweisbar ist. Gesetzt, dass D die Mächtigkeit 

 von M hätte. Dann lassen sich die Elemente von D und M in (1, l)-deutiger Beziehung zu ein- 

 ander setzen. Eine solche Beziehung vorausgesetzt, kann ein gewisses If-Element seinem ent- 

 sprechenden .D-Element als Element zugehören, oder nicht; kurz: intransitiv oder transitiv sein. 

 Es bedeute K die Menge aller transitiven ilf-Elemente (dass solche wirklich vorkommen, kann 

 immer, wenn nötig, durch Vertauschungen erreicht werden). K ist selbst Teilmenge in M und 

 hat somit sein entsprechendes ilf-Element Je. Wenn nun Je intransitiv ist, so gehört es zu K, 

 was ausgeschlossen ist, da K aus lauter transitiven Elementen besteht. Ebenso wenig kann Je 

 transitiv sein und somit nicht in K enthalten; denn K enthält alle transitive Elemente. Hiermit 

 ist die Unmöglichkeit von Äquivalenz zwischen ~D und M. nachgewiesen. Da man ferner leicht 

 beweisen kann, dass die Mächtigkeit von D nicht geringer als die von M sein kann, so folgt, 

 dass sie grösser ist, w. z. b. w. (Die Beweisführung versagt für endliche M mit nur 2 oder 3 

 Elementen; aber dies ist natürlich hier ohne jede Bedeutung). 



(Ausgedruckt am 3. Mai 1921. 



