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lîeurs excellens articles qu'il nous a envoyés. 



I. Echelle arithmétique, dit-il, eft le nom 

 qu'on donné à une progreffion géométrique par la- 

 quelle le règle la valeur relative des chiffres fimples, 

 ou l'accroiffement graduel de valeur qu'ils tirent du 

 rang qu'ils occupent entr'eux. 



Elle eft formée de puiffances confécutives d'un 

 nombre r, toujours égal à celui des caractères nu- 

 mériques ou chiffres ( y compris o) , auquel on a 

 trouvé bon de fe fixer dans le fyfteme de numéra- 

 tion établi ; & le premier & le plus petit terme en 

 eftr°. 



II. Etant donc pofée une telle progreffion , fi l'on 

 conçoit une fuite de chiffres pris comme on voudra, 

 qui lui correfponde terme à terme , on eft convenu 

 que la valeur relative de chacun d'eux feroit le pro- 

 duit de fa valeur propre ou abfolue par la puiffance 

 de r qui lui correfpond dans la progreffion. Cette 

 idée heureufe nous met en état de repréfenter nette- 

 ment & avec peu de caracleres les nombres les plus 

 grands &c incapables par leur grandeur même d'ê- 

 tre faifis par notre imagination. 



III. Comme les rangs des chiffres fe comptent dans 

 le même fens qu'eft dirigé le cours des expofans po- 

 tentiels dans la progreffion , & que le premier expo- 

 fant eft o, il fuit que l'expofant de la puiffance eft 

 toujours plus petit d'une unité que le rang du chiffre 

 correfpondant ; enforte que nommant n le rang qu'- 

 occupe un chiffre a quelconque dans fa fuite, l'ex- 

 prelîion de fa valeur relative eft généralement 



. . n — I 



aX r 



Si l'on cherche , par exemple , la valeur du 4 dans 

 437 , relativement à notre échelle 9 où r= 10, & où 

 les rangs fe comptent de droite à gauche , on la trou- 

 yera = 4Xio 3 ~~ 1 = 4Xio a = 4 X 100 = 400. 



IV. Le nombre r efl dit la racine de Y échelle ; & 

 c'eft de lui que Y échelle même prend fon nom. r = 

 10 fait nommer denaire celle dont nous nous fervons ; 

 r = 2 donneroit l'échelle binaire ; r = 7 la feptenaire 9 

 &c. 



V. La progreffion décuple qui conftitue notre 

 échelle , eft croiffante de droite à gauche , & nous 

 fùppoferons la même direction dans toutes les au- 

 tres auxquelles nous pourrons la comparer ; mais 

 elle pouvoit l'être tout auffi-bien de gauche à droite. 

 On eût pû même lui donner une direction verticale 

 & la rendre croiffante , foit de haut en-bas , foit de 

 bas en-haut. En un mot Y arbitraire avoit lieu ici tout 

 comme pour l'écriture : fi nous dirigeons nos lignes 

 de gauche à droite , d'autres peuples les ont dirigées 

 êc les dirigent encore de droite à gauche ; d'autres 

 de bas en-haut ou de haut en-bas. 



VI. r trop petit nous eût réduit à employer beau- 

 coup de carafteres pour repréfenter un nombre affez 

 médiocre, r trop grand nous eût obligé de multiplier 

 les carafteres , au rifque de furcharger la mémoire 

 & aux dépens de la fimplicité. r= 10 femble entre 

 ces deux extrêmes tenir un jufte milieu. Ce n'eft 

 pas que quelques fa vans n'ayent penfé qu'on eût pû 

 mieux choifir. Voye^ Binaire. Pour mettre le lec- 

 teur en état de juger de leur prétention , nous allons 

 donner le moyen de comparer entr'elles les diverfes 

 échelles arithmétiques. Tout peut fe réduire aux cinq 

 ou même aux trois problèmes ci-après : 



VII. Problème 1. L'expreffion a d'un nombre étant 

 donnée dans Y échelle ufuelle, trouver l'expreffion 

 du même nombre dans une autre échelle quelconque , 

 dont la racine b eft auffi donnée. 



Solution. Chercfiez la plus haute puiffance de b qui 

 foit contenue dans a. Nommant n l'expofant de cette 

 puiffance, n+ 1 fera le nombre de chiffres de l'ex- 

 preffion cherchée. Pour l'avoir , divifez a par le 



premier refte par b n " 1 ? le fécond refte par * 71 " % 5c 

 Tome V, 



a 49 



aïnfi de fuite jufqu a b n ~ n ou b °inclufivement.Tous 

 ces quotiens/7m en nombres entiers & écrits à la fuite 

 l'un de l'autre dans l'ordre qu'ils viendront, donne- 

 ront l'expreffion cherchée dans Y échelle dont la ra- 

 cine eft b ; enforte que défignant le premier refte par 



r 3 le fécond refte par r, &c. la formule générale fera 



1 



a. r 



b n b n ~i b n ~ 2 



n 



r . 

 1^ 



Exemple. Un nombre exprimé par 4497 dans IV» 

 chelle ufuelle, comment le fera-t-ildansla feptenaire?, 



Subftituant dans la for- 

 a — 4497O mule, on.aura 



b = 7 V. 449 7 3 096. Il 1A 1 . 



On trouve n = 4 ^ 1.6.0.5.3 = 16053. 



Le même nombre ne pourroit être exprimé dans IV- 

 chelle binaire par moins de treize caracleres. 



VIII. Problème 2. L'expreffion A d'un nombre 

 étant donnée dans une échelle quelconque (autre que 

 Pufuelle), dont la racine b eft connue , trouver l'ex* 

 preffion du même nombre dans Y échelle ufuelle. 



Solution. Soient les chiffres du nombre^ repré- 

 fentés dans le même ordre par les indéterminées 

 c.d. è.f. . .'. . D. 



Nommant /z-J- 1 le nombre des chiffres de A , n fera 

 (n°. 7.) l'expofant de la plus haute puiffance de b qui 

 y foit contenue. Cela pofé , multipliez refpe&ive- 



ment c par b n , d par b n ~~ l f & ainfi de fuite, juf- 

 qu'à b° inclufivement, la fomme de tous ces pro- 

 duits fera dans Y échelle ufuelle l'expreffion cherchée 

 du nombre propofé, dont la formule générale fera 



cb n +db n - 1 + eb n - 2 . . . . +Bb°. 



Exemple. Un nombre exprimé par 16053 dans IV- 

 chelle feptenaire , comment le fera-t-il dans YéchelU 

 ufuelle ? 



A = 16053 

 D'où n =4 

 b = 7 



c = 1 ; d=zb , &£C. 



Subftituant , on trouve 



1 X 7 4 + 6 x 7* + oX7 % 

 1 



4-5x7" +3_x 1=2401! 

 + 2058 -ho + 3 5 + 3 = 

 4497. 



IX. Problème 3 . L'expreffion a d'un nombre étant 

 donnée dans Y échelle ufuelle , & l'expreffion A du 

 même nombre dans une autre échelle > trouver la ra- 

 cine b de cette féconde échelle. 



Solution. Par le problème précédent c b n ^-db n ~ l 

 i 4 .. + £> b° =zajà , ohcb 7l +d b 71 - 1 ... .+Db° 



— a — o , équation du degré n , laquelle étant réfo- 

 lue donnera la valeur de b. Voye^ Equation. 



Exemple. Le même nombre eft exprimé par 4497 

 dans Y échelle ufuelle , & par 16053 dans une autre 

 é'chelk: quelle eft la racine b de cette féconde échelle ?. 



Subftituant , on aura 

 I après la réduction 

 b*±6b* * + 5*-4494 

 = o . . . équation à ré- 

 j foudre. 



Mais fans entrer dans aucun calcul , il eft aifé de 

 voir que b eft d'un côté < 10 (puifqu'il y a plus de 

 chiffres dans A que dans a) , & d'un autre côté > 6 

 (puifque 6 entre dans l'expreffion A) ; effayant donc 

 les nombres entre 6 & 10, on trouve que 7 eft ce- 

 lui qui convient^ & qu'il réfoud l'équation. 



X. Problème 4. Etant données les racines b & rde 

 deux échelles (toutes deux autres que l'ufuelle) avec 

 l'expreffion A d'un nombre dans la première , trou- 

 ver l'expreffion du même nombre dans la féconde. 



Problème i. Etant données les expreffions A & à 



li 



a =4497 

 A = 16053 

 D'où n = 4 



c = 1 ; d=. b 9 &c. ( 



