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du même nombre en deux échelles autres que Pn- 

 fuelîe , avec la racine b de la première , trouver la 

 racine de la féconde. 



Solution commune. Si dans l'un & dans l'autre cas 

 on réduit ( par le problème II.) l'expreffion A à IV- 

 chelle ufuelle , le problème IV. ne fera plus que le 

 premier , ni le problème V. que le troineme. 



Exemple pour le problème 4. Un nombre exprimé 

 par 16053 dans Y échelle feptenaire , comment le fera- 

 î-il dans la duodénaire ? 



16053 réduit ( problème 1.) à Y échelle ufuelle , de- 

 vient 4497; puis cherchant (problème 1.) l'expref- 

 fion de 4497 dans V échelle duodénaire , on trouve 

 2729. 



Exemple pour le problème 5. Le même nombre qui 

 eft exprimé par 16053 dans Y échelle feptenaire, l'eft 

 par 2729 dans une autre .échelle: quelle eft la raci- 

 ne de cette féconde échelle? 



16053 réduit à Y échelle ufuelle, devient 4497; 

 puis opérant (problème 3.) fur 4497 & fur 2729, 

 on trouve 1 2 pour la racine de la féconde échelle. 



* Echelle , (Anatomie.) il fe dit des deux ram- 

 pes ou contours du limaçon. Voye^ Limaçon. 



Echelle , c'eft en Mujîque , le nom qu'on a don- 

 né à la fucceffion diatonique de fept notes, ut, ré, 

 mi, fa , fol, la, fi ; parce que ces notes fe trouvent 

 rangées en manière d'échelons fur les portées de la 

 Mufique. 



Cette énumération de tous les fons de notre fyf- 

 tème rangés par ordre , que nous appelions échelle , 

 les Grecs pour le leur l'appelloient diagramme. On 

 peut voir au mot Système , le diagramme complet 

 de toute la Mufique ancienne. 



S. Grégoire fut le premier qui changea les tétra- 

 cordes des anciens en un eptacorde , ou fucceffion de 

 fept notes ; au bout defquelles commençant une au- 

 tre octave , on trouve les mêmes fons répétés dans 

 le même ordre. Cette découverte eft très-belle ; & 

 il eft fingulier que les Grecs qui voyoient fort bien 

 les propriétés de l'oûave , ayent crû malgré cela 

 devoir refter attachés à Jeurs tétracordes. Gré- 

 goire exprima ces fept notes avec les fept premiè- 

 res lettres de l'alphabet latin ; Guy Aretin donna 

 d'autres noms aux fix premières : mais il négligea 

 d'en donner un à la feptieme note , qu'en France 

 nous avons depuis appellée fi, & qui n'a point en- 

 core d'autre nom que b chez la plupart des peuples 

 de l'Europe. Voye^ Gamme. 



Il ne faut pas croire que les rapports des tons & 

 femi-tons dont Y échelle eft compofée , foient des cho- 

 ies arbitraires , & qu'on eût pû par d'autres divi- 

 lions donner aux fons de cette échelle un ordre & des 

 rapports difFérens , fans diminuer la perfection du 

 fyftème. Notre fyftème eft le meilleur, parce qu'il 

 eft engendré par les confonnances & par les diffé- 

 rences qui font entr'elles. « Que l'on ait entendu 

 » plufieurs fois , dit M. Sauveur, l'accord de la quin- 

 » te & celui de la quarte , on eft porté naturellement 

 tf à imaginer la différence qui eft entre eux ; elle s'u- 

 » nit & fe lie avec eux dans notre efprit , & parti- 



cipe à leur agrément : voilà le ton majeur. Il en va 

 » de même du ton mineur , qui eft la différence de la 

 » tierce mineure à la quarte , & du femi-ton majeur 

 •» qui eft celle de la même quarte à la tierce majeu- 



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» re ». Or le ton majeur , le ton mineur , Se le femi< 

 ton majeur , voilà les degrés diatoniques dont notre 

 échelle eft compofée félon les rapports fui vans. 



Pour fervir de preuve à ce calcul , il ne faut que 

 compofer tous ces rapports, & l'on trouvera le 

 rapport total en raifon double , c'eft-à-dire , comme 

 un eft à deux : ce qui eft en effet le rapport exact des 

 deux termes extrêmes , ou de Y ut à fon oâave. 



V échelle dont nous venons de parler , eft celle 

 qu'on nomme naturelle ou diatonique ; mais les mo- 

 dernes divifant fes degrés en d'autres intervalles plus 

 petits , en ont tiré une autre échelle qu'ils ont appel- 

 lée échelle femi-tonique ou chromatique; parce qu'elle 

 procède par femi-tons. 



Pour former cette échelle, on n'a fait que partager 

 en deux intervalles égaux chacun des cinq tons en-' 

 tiers de l'octave ; ce qui , avec les deux femi-tons 

 qui s'y trouvoient déjà , fait une fucceffion de douze 

 femi-tons fur treize , d'une octave à l'autre. 



L'ufage de cette échelle eft de donner les moyens 

 de moduler fur telle note qu'on veut choifir pour 

 fondamentale , & de pouvoir faire fur cette note un 

 intervalle quelconque. Tant qu'on s'eft contenté d'é- 

 tablir pour tonique une note de la gamme à volonté, 

 fans s'embarraffer fi les fons par lefquels devoit paf- 

 fer la modulation , étoient avec cette note dans les 

 rapports convenables, Y échelle femi-tonique étoit 

 peu néceffaire ; quelque fa dièfe , quelque fi bémol , 

 compofoient tout ce qu'on appelloit les feintes de la, 

 Mufique : c'étoient feulement deux touches à ajou- 

 ter au clavier diatonique. Mais depuis qu'on a crû 

 fentir la néceffité d'établir entre les divers tons une 

 fimilitude parfaite , il a fallu trouver des moyens de 

 tranfporter les mêmes chants & les mêmes interval- 

 les, plus haut & plus bas, félon le ton qu'on choi- 

 fiflbit. V échelle chromatique eft donc devenue d'une 

 néceffité indifpenfable , & c'eft par fon moyen qu'- 

 on porte un chant fur tel degré du clavier que l'on 

 veut choifir , & qu'on le rend exactement , fur cette 

 nouvelle pofition , tel qu'il peut avoir été imaginé 

 fur une autre. 



Ces cinq fons ajoûtés ne forment pas dans la Mu- 

 fique de nouveaux degrés : mais ils fe marquent tous 

 fur le degré le plus voifin par un bémol , fi ce degré 

 eft plus haut ; par un dièfe, s'il eft plus bas ; & la note 

 prend toujours le nom du degré où elle eft placée. 

 Foyei Bémol & Dièse. 



Pour affigner maintenant les rapports de ces nou- 

 veaux intervalles , il faut favoir que les deux parties 

 ou femi-tons qui compofent le ton majeur, font dans 

 les rapports de 15 à 16, & de 128 à 135; &que les 

 deux qui compofent auffi le ton mineur , font dans 

 les rapports de 1 5 à 16, & de 24 à 25 : de forte qu'en 

 divifant toute l'octave félon Y échelle femi-tonique , 

 on en a tous les termes dans les rapports fuivans. 



Ut, ut 



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