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2/. «. 2.) delà manière expliquée ci-deffus. 



Ou en la définiiîant par une de les propriétés fup- 

 pcfée connue, c'eft une ligne courbe dans laquelle 

 le quarré de la demi-ordonnée P M Çfig. 2/.) eft au 

 rectangle des fegmens AP, 6c BP de l'axe, comme 

 le paramètre eû à l'axe ; ainfi fuppofant AB=za,\e 

 paramètre = b,P M=y, A P = x , on aura b: a:: 

 y y : a x —x x , & par conféquent ayy ~abx — b xx. 



Nous ne donnons point la démonftraîion de cette 

 propriété, parce qu'elle fe trouve par -tout. Nous 

 avons expofé les différentes définitions qu'on peut 

 donner de Yellipfe , 6c cette dernière propriété peut 

 être regardée, fi l'on veut, comme une des défini- 

 tions qu'on peut en donner, auquel cas la démonf- 

 tration enferoitfuperflue. Mais la meilleure manière 

 de traiter de Yellipfe 6c de toutes les fecîions coni- 

 ques géométriquement , eft de les confidérer d'abord 

 dans le cone, d'en déduire leur équation, & de les 

 îranfporter de -là fur le plan, pour confidérer plus 

 facilement leurs propriétés , 6c pour trouver , fi l'on 

 veut, la manière de les décrire par un mouvement 

 continu , ou par plufieurs points. Ainfi des proprié- 

 tés de Yellipfe tranfportée & confidérée fur le plan, 

 réfulte la defcription de Yellipfe telle que nous l'a- 

 vons donnée au mot Conique. 



J'ai dit que la meilleure manière de traiter géomé- 

 sriquementles ferions coniques, & en particulier Yel- 

 lipfe , étoit de les faire naître dans le cone ; car fi on 

 veut les confidérer algébriquement par la nature 6c 

 les différences de leurs équations, la meilleure ma- 

 nière efl celle dont j'ai parlé au mot Conique. Foy. 

 aujji les articles Courbe & CONSTRUCTION. 



Si on prenoit les abfciffes x au centre C, on trou- 



veroitj'jK = (J-^ — xx> ) x 7* Quelquefois cette 



équation eft plus commode que ayy— abx— bxx. 

 De cette dernière équation il s'enfuit, i°. queyy= 



h x—^f , c'eft-à-dire que le quarré de la demi-or- 

 donnée efl égal au rectangle du paramètre par l'abf- 

 ciffe , moins un autre rectangle formé par la même 

 abfciffe , 6c une quatrième proportionnelle à l'axe , 

 au paramètre , & à l'abfciffe. 



2°. Le paramètre , l'abfciffe, 6c la demi-ordonnée 

 d'une ellipfe. , étant donnés, on trouvera l'axe en fai- 

 fant ces proportions b :y : : y : y -f , 6c x — ~ : x : : 

 x : a. Foye{ Construction. 



3°. L'abfciffe AP, l'axe AB , & l'ordonnée PM, 

 étant donnés , on trouve le paramètre en faifant b — 



— , 6c conftruifant enfuite cette valeur de b fui- 



a x — xx' 



vant les règles expliquées au mot Construction. 



4°. Si du grand axe A B comme diamètre (figure 

 £2.), on décrit un cercle^ C B , & que par le foyer 

 F on mené FC ordonnée à Taxe, inféra la moitié 

 du petit axe , & FD la moitié du paramètre du grand 

 axe. Car l'abfciffe G F =v / (F E 2 - G E 2 ) = / 



Ql—l-ï^ p a étant le quarré du petit axe. V. Para- 

 mètre & Foyer. Or CF 2 = if - G F 2 , par la 

 propriété du cercle ; donc C F = F ss la moitié 



du petit axe. Or CF 2 eû à D F 2 , comme la moitié 

 du grand axe efl au demi - paramètre , c'eft-à-dire 

 comme le quarré de la moitié du petit axe efl au 

 quarré de la moitié du paramètre ; donc D F = la 

 moitié du paramètre. Le cercle qui a pour diamètre 

 le grand axe de Yellipfe, eû appellé circonfcrit à Y 'el- 

 lipfe; le cercle qui a pour diamètre le petit axe, eft 

 appellé cercle injcrit : en effet le premier de ces cer- 

 cles efl: extérieur, le fécond intérieur à Yellipfe. 



5°. Le paramètre & l'axe AB étant donnés, on 

 trouvera facilement l'axe conjugué , puifque c'eft 



tme moyenne proportionnelle entre l'axe & ïe pâ» 

 rametre ; à quoi il faut ajouter que le quarré du de- 

 mi-axe conjugué efl égal au rectangle formé fur B f 

 (fig.zi .) ou fur A F Se B F. 

 6°. Dans une ellipfe quelconque , les quarrés des 

 demi-ordonnées P M 3 p m , &c. font entr'eux com- 

 me les rectangles formés fur les fegmens de l'axe : 

 d'où il s'enfuit que D C 2 : P M 1 : : C B 7 - : AP x 

 BP,& par conféquent D C 2 : B C 2 : : P M 2 : AP x 

 BP; c'eft-à-dire que le quarré du petit axe efl au 

 quarré du grand, comme le quarré de la demi-or- 

 donnée efl: au rectangle formé fur les fegmens de 

 l'axe. 



7 °. La droite Fi? Q%. 24.) tirée du foyer F h l'ex- 

 trémité du demi-axe conjugué , étant égale à la moi- 

 tié de l'axe tranfverfe A C, il s'enfuit que les axes 

 conjugués étant donnés , on peut aifément détermi- 

 ner les foyers. Pour cela on coupera le grand axe 

 A B en deux parties égales en C, on élèvera du 

 pointé la perpendiculaire CD égale au demi-axe 

 conjugué ; enfin du point D pris pour centre, & de 

 l'intervalle C A , on décrira un arc de cercle , il dé- 

 terminera les foyers F &/ par fes interférions avec 

 le grand axe. 



8°. Comme la fomme des deux droites F M 6c fM, 

 tirées des deux points F6cf, au même point de la 

 circonférence M , efl toujours égale au grand axe 

 A B , il s'enfuit de-là que les axes conjugués d'une 

 ellipfe étant donnés , on peut facilement décrire Yel- 

 lipfe. Voye^ Conique. 



9 0 . Le rectangle formé fur les fegmens de l'axe 

 conjugué efl: au quarré de la demi-ordonnée, comme 

 le quarré de l'axe conjugué efl au quarré du grand 

 axe ; d'où il s'enfuit que les coordonnées à l'axe con- 

 jugué ont entr'elles un rapport analogue à celui qui 

 règne entre les coordonnées au grand axe. 



io°. Pour déterminer la foûtangente P T (figure 

 %2, •) & la foûnormale P R dans une ellipfe quelcon- 

 que , on fera : comme le premier axe eft au paramè- 

 tre , ainfi la diftance de la demi-ordonnée au centre 

 eft à la foûnormale. Foye{ SoÛNORMALE. 



ii°. Le rectangle fous les fegmens de l'axe efl 

 égal au rectangle formé de la diftance de la demi- 

 ordonnée au centre 6c de la foûtangente. Voye^ 



SOÛTANGENTE. 



12°. Le rectangle fait de la foûtangente & de la 

 diftance de l'ordonnée au centre , eft égal à la diffé- 

 rence du quarré de cette diftance & du quarré du de- 

 mi-axe tranfverfe. 



1 3 °. Dans toute ellipfe le quarré de la demi-ordon- 

 née à un diamètre quelconque , eft au quarré du de- 

 mi-diametre conjugué , comme le rectangle fait fous 

 les fegmens du diamètre eft au quarré du diamètre; 

 & par conféquent le rapport des demi -ordonnées 

 des diamètres eft le même que celui des ordonnées 

 des axes ; le paramètre d'un diamètre quelconque 

 eft aufîi une troifieme proportionnelle à ce diamè- 

 tre 6c à fon conjugué. 



Nous avons rapporté ces propriétés de Yellipfe la 

 plupart fans démonftration, pour deux raifons: la 

 première , afin que le lecteur ait fous les yeux dans 

 un affez petit efpace les principales propriétés de 

 Yellipfe» auxquelles il peut joindre celles dont on a 

 déjà fait mention à Yarticle Conique. La féconde 

 raifon eft de donner au lecteur l'occafion de s'exer- 

 cer en cherchant la démonftration de ces proprié- 

 tés. Toutes celles que nous venons d'énoncer fe dé- 

 duifent aifément de l'équation y y — (a x — x x) 

 jOu^j-ArxjJ, félon qu'on prendra les abfcif- 

 fes au centre ou au fommet , pour démontrer plus 

 ftmplement ces propriétés. Powr démontrer les pro- 

 priétés des foyers, on nommera C F(Jig. 21.) f; & 

 qxi remarquera que ft c eft le fécond axe , on aura 



