îi_//=r^ = *j. En voilà plus qu'il n'en faut 



pour mettre le lecteur fur la voie. On peut remar- 

 quer ici en paffant que le cercle eû une efpece Yel- 

 lipfe dans laquelle les foyers coïncident avec le 

 centre. 



Pour trouver les tangentes de Yellipfe , rien n'eft 

 plus fimple & plus commode que d'employer la mé- 

 thode du calcul différentiel ; on a y y — b x — b -~ • 

 donc i y dy — bdx — r h x d x • donc la foûtangen- 



-% } r oy&i Us articles SoÛTANGEN- 



* a y dx 1 y y 



te 



d y 



b- ib 



'te & Tangente. A l'égard de la foûperpendicu- 

 culaire ou foûnormale, eHe eft^ ou^ - — 



^ d x 1 y 7. a y 



^ — — -. En voilà affez pour démontrer les propofi- 



tions énoncées ci-defTus au fujet des tangentes de 

 Yellipfe. 



Nous avons déjà vû au mot Conique , & nous 

 prouverons encore au Quadrature, que la 

 quadrature de Yellipfe dépend de celle du cercle , 

 puifque Yellipfe eft au cercle circonferit en raifondu 

 petit axe au grand. A l'égard de la rectification de 

 Yellipfe y c'eft un problème d'un genre Supérieur à ce- 

 lui de la quadrature du Gercle, ou du moins tout-à- 

 fait indépendant de cette quadrature. Voye^ Recti- 

 fication; voye^ auffi dans les mémoires que j'ai 

 donnés à l'académie de Berlin pour l'année 1746, 

 & dans le traité du calcul intégral de M. de Bougain- 

 viUe le jeune , les différentielles qui fe rapportent à 

 îa rectification de Yellipfe. 



Au lieu de rapporter Yellipfe h. des coordonnées 

 rectangles ou à des ordonnées parallèles , on peut 

 confidérer fon équation par rapport à l'angle que 

 font avec l'axe les lignes menées du foyer. Cette 

 confidération eft utile dans l'Aftronomie , parce que 

 les planètes, comme l'on fait, décrivent des ellipfes 

 dont le foleil eft le foyer. Or fi on nomme a la moi- 

 tié du grand axe d'une ellipfe, f la diflance du foyer 

 au centre , q le cofinus de l'angle qu'une ligne me- 

 née du foyer à Yellipfe , fait avec l'axe , r la longueur 



de cette ligne ; on aura r = aa a ~J/ i <i fi 011 rapporte 



l'équation au foyer le plus éloigné , &: r = : * * ~ f / q y 



fi on la rapporte au foyer le plus proche. De-là on 

 peut tirer la folution de plufieurs problèmes aftro- 

 nomiques , comme de décrire une ellipfe dans la- 

 quelle trois diflances au foyer font données, &c. 

 Voyez les mémoires de Vacadém. de Berlin pour l'an- 

 née 1747, & plufieurs autres ouvrages d'JJlronomic. 



Mais la manière la plus générale de confidérer 

 Yellipfe en Géométrie , eft de La confidérer par l'équa- 

 tion aux ordonnées parallèles. Nous allons entrer 

 dans quelques confidérations fur ce fujet, qui pour- 

 ront être utiles aux commençans , peut-être même 

 aux géomètres plus avancés. 



L'équation d'une ellipfe rapportée aux axes , les 

 coordonnées étant prifes au centre , efl y y = k — 

 gxxyk exprimant un quarré ou rectangle connu , 

 & g un nombre confiant & connu ; cela réfulte de 

 ce qu'on a vu ci-deffus. Transformons les axes de 

 cette courbe, de manière qu'ils ne foient plus rec- 

 tangles , fi on veut , mais qu'ils ayent la même ori-i 

 gine, & fervons-nous pour cela des règles expli- 

 quées aux articles COURBE & TRANSFORMATION, 

 on verra qu'en fuppofant un des axes dans une po- 

 sition quelconque , il fera pofïïble de donnerune telle 

 pofition à l'autre, que l'équation transformée lbit 

 de cette forme uu ~m~n^, m §l n marquant 

 auffi des confiantes déterminées. En effet fuppofons 

 que l'angle des premiers axes foit droit, que E foit 

 l'angle du nouvel axe avec l'un des axes primitifs, 



5 1*7 



& JTangïe que l'axe cherché fait avec î'axe con- 

 ju gue a l'a xe primitif ; foit finus E- e , cofinus E =z 

 |/i on aura Sinus 9 o + ^~ j/j -c e, cofin. 



9 o 4- E^-e; foit finus F =f, & CQ fa m F = 



Vi -ff, on trouvera p=~=r + ( x _ ) 



r,. n - . 1 J J J 



— U, & ( X 



fin. E 



finus 90 -h E - F 



yf 



cof. F 



= 1- 



Vt- ff fin. 90 +E-F' 



Or finus 90 -f E — F=i fm. 90 + E x V 1 — ff— 

 f cofin. 90 E ( vqyei S I NUS ) sa ]/i ff x 



V 1 >- e <5-f fe. Subflituant ces valeurs, & chaffant 

 x <ky 9 on aura une équation en 1 & en u, qui fera 

 la transformée de l'équationyjK = & — gxx; & fup- 

 pofant dans cette transformée que les termes où fe 

 trouve u 1 fe détruiSent , on aura la valeur de / en 

 e convenable pour cela , & l'équation un — m — 

 n 1 £. Cela pofé , 



Il eft vifible que pour chaque { , u a toujours deux 

 Valeurs égales^ l'une pofitive, l'autre négative; que 

 lorfque 1 = V- , on a u = 0 dans chacune de ces 



deux valeurs, & qu'ainfi la tangente à l*exrrémité 

 d'un des deux axes efl parallèle à l'autre axe , & ré- 

 ciproquement ; car la tangente eit une ordonnée 

 qui coupe la courbe en deux points coïncidens. 

 V ?yei Tangente & Courbe. On verra de plus que 

 f — o rend e — o; que/= 1 rend e = 1 , 1 repréfen- 

 tant le finus total ; que f— — 1 rend e = — 1 , & q U '- 

 ainfi il n'y a que deux axes dans Yellfpfe qui fe cou- 

 pent à angles droits ; mais que f=+r, r étant moin- 

 dre que 1 , donne deux valeurs de e auffi égales en- 

 tr'elles, & qu'ainfi il y a toujours deux diamètres 

 différens qui font avec leur conjugué le même an- 

 gle , û cet angle efl moindre qu'un droit. On peut 

 auffi déduire des valeurs de /en e , & de celles de m 

 & n , que le rectangle des deux axes efl égal au pa- 

 rallélogramme formé fur deux diamètres conjugués , 

 8z que le quarré des deux axes efl égal au quarré des 

 deux diamètres. Mais ces proportions peuvent en- 

 core fe démontrer de la manière fuivante , qui efl 

 bien plus fimple. 



Pour démontrer que les parallélogrammes for- 

 més autour des deux diamètres conjugués font 

 égaux , imaginez un diamètre infiniment proche d'un 

 des conjugués , & enfuite imaginez le conjugué à ce 

 diamètre infiniment proche. Achevez les deux pa- 

 rallélogrammes ? ou plutôt le quart de ces parallé- 

 logrammes , vous verrez à l'inflant, & pour ainfi di- 

 re à l'oeil , par le parallélifme des tangentes aux dia- 

 mètres conjugués , que ces deux parallélogrammes 

 infiniment proches font égaux ; leur différence , s'iî 

 y en avoit, ne pouvant être qu'infiniment petite du 

 lècond ordre par rapport à eux. Donc , &c. 



Pour démontrer maintenant que la fomme des 

 quarrés des diamètres conjugués efl confiante , con- 

 fervez la même figure , appeliez a un des demi-dia- 

 mètres, b fon conjugué, a 4- d a , le demkliametre 

 infiniment proche de a s b — d b le demi-diametre con- 

 jugué ; il faut donc prouver que a a-\-b b = a <z -f- 

 xad a-\-b b— z b db ( voye{ Différentiel ) ou 

 que a da — b db. Or traçant du centre de Yellipfe & 

 des rayons a , b , deux petits arcs de cercle x } 1, on 

 verra d'abord évidemment que les deux quarts dV*» 

 Hpfe renfermés entre les demi-diametres conjugués, 

 f ont égaux , & qu'ainfi a x = b ^. Or ^ efl k d a Se 

 £ efl à db , comme le finus de l'angle des diamètres 

 efl au cofinus du même angle ; donc x : d a : : ^ : db £ 

 donc puifque a x = b 1 , on aura ad a=.b db. 



On objectera peut-être que ces deux démonflra- 

 tions font tirées de la confidération des quantités in- 

 finiment petites , c'efl-à-dire d'une géométrie trans- 

 cendante Supérieure à celle des ferions coniques. Je 



