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Nous nous contenterons de donner ici en peu de 

 Mots une théorie des épicycloïdes limples ou ordinai- 

 res. Cette théorie contiendra le germe de tous les 

 problèmes qu'on peut Te propofer lur les épicycloïdes > 

 & facilitera le moyen d'étendre ces problèmes à des 

 êpicychïdcs plus composées. 



Je fuppofe d'abord que i foit le rayon du cercle 

 Toulant ou générateur , & que Yépicycloïde foit exté- 

 rieure. Soit x l'arc qui a roulé , r le rayon de l'au- 

 tre cercle , il eft évident qu'en prenant dans ce fé- 

 cond cercle un arc = x , & tirant enfuite la corde 

 de l'arc x dans le cercle générateur, on aura un des 

 points de Yépicycloïde. Or les angles formés par deux 

 arcs égaux dans différens cercles , font entr'eux en 

 raifon inverfe des rayons de ces cercles. Voye^ An- 

 gle , Degré , Mesure, &c. Donc il ne s'agit que 

 de divifer un angle en raifon de rà i, pour avoir un 

 point de Yépicycloïde. 



Donc fi r eft à i en raifon de nombre à nombre , 

 Yépicycloïde fera une courbe géométrique , puifqu'on 

 peut toujours divifer un angle géométriquement en 

 raifon de nombre à nombre. F. Trisection, &c. 



Confidérons à préfent les deux cercles comme 

 deux polygones réguliers d'une infinité de côtés 

 chacun, mais dont les côtés foient égaux, en forte 

 que ces polygones ne foient point femblables : il eft 

 vifible, i°. que l'angle de contingence du cercle gé- 

 nérateur fera d x ; que l'angle de contingence de 



l'autre fera ~ (voye^ Polygone & Courbe): 2®. 



que pendant le roulement où l'application d'un côr- 

 té infiniment petit du cercle générateur fur le côté 

 correfpondant de l'autre , une des extrémités de la 

 corde de l'arc x pourra être regardée comme fixe , 

 & que l'autre décrira un arc de cercle qui fera le pe- 

 tit côté de Yépicycloïde: 3 0 . que la tangente de Yépi- 

 cycloïde (yoye{ Tangente) fera par conféquent per- 

 pendiculaire à la corde de l'arc x dans le cercle gé- 

 nérateur: 4 0 . que le petit côté de Yépicycloïde fera 



( dx+ d -f) X cord, x-dxxiïm.ïx (^); donc 

 l'arc totalde YépicycloïdeiQxzQ—^ )xix(i-cof. 



yoye^ Sinus : 5 0 . que l'élément de l'aire de Yépicy- 

 cloïde fera égal au petit triangle fcalene , dont d x eft 

 la bafe & cord. x un des côtés, plus au triangle ifof- 

 cele qui a cord. x pour côté , & pour bafe d x (^- r ) 

 2 fin. |. Cela fe voit à l'œil par la feule infpeftion 

 d'une figure. Or le premier de ces élémens eft l'élé- 

 ment du cercle, & le fécond eft d x (~- r ^ 2 fin. ^ x 



icord.* = ^(^)(f m . *-y = dx(l±^) X 

 (— I cof.*+ iy. Voyei Sinus. Donc l'aire de Y épi- 



cycloïde ei\ é^ale k l'aire du cercle, plus à l'intégrale 

 de la quantité précédente ; intégrale aifée à trouver • 

 voyei Sinus , Intégral , & le traité de M. de Bou- 

 gainville le jeune. 6°. L'angle que font enfemble 

 deux côtés confécutifs de Yépicycloïde , fe trouvera 

 aifément, & toujours par la feule infpeûion d'une 

 figure fort fimple ; car cet angle eft égal , i°. à — • 

 2 0 . à deux angles à la bafe d'un triangle ifofcele , 

 dont l'angle du îommet eft d x -f ~ } c 'eft - à - dire 

 180 —dx — y: donc l'angle de contingence eft 

 ^ + ^r. Or le rayon ofculateur eft égal au côté de 



la courbe divifé par l'angle de contingence. Foyer 

 Osculateur 6- Développée. Donc le rayon of- 

 culateur eft égal à 2 ^lil! c -£lL5 



Si on fait r négative dans les calculs précédens, 

 £>n aura les propriétés de Yépicycloïde intérieure. 

 Tome K 



Epi 



787, 



Si dans les mêmes calculs on fait r = à llnfini , on 

 aura les propriétés de la cycloïde ordinaire. 



On peut encore confidérer d'une autre maniéré 

 toutes les épicycloïdes ordinaires* allongées, accour- 

 ues , fphénques , &c t Au lieu de faire rouler le cer- 

 cle générateur , il n'y a qu'à fuppofer que le centre 

 de^ce cerclé décrive une ligne quelconque , & qu'en 

 même tems un point mobile fe meuve fur la circon- 

 férence de ce cercle. Par le principe de la compofi- 

 tion des mouvemens , on aura facilement les élé- 

 mens de Yépicycloïde; Yépicycloïde fera fimple ou or- 

 dinaire , c'eft-à-dire ni allongée ni accourcie , fi l'arc 

 décrit par le centre , pendant que le point mobile 

 décrit la circonférence, eft à cette circonférence 

 comme r+ieflàr. Voye^ Roue d'Aristote. 



Nous n'en dirons pas davantage fur cet article. II 

 nous fuflït d'avoir mis ici en quelques lignes tout le. 

 traité des épicycloïdes d'une manière allez nouvelle 

 à plufieurs égards , & fourni aux commençons , & 

 peut-être à des géomètres plus avancés , une occa- 

 fion de s'exercer. 



Sur l'ufage des épicycloïdes en Méchamque 9 voyez 

 Dent. 



M. de Maupertuis, dans les mémoires de Vacad. de 

 '7*7 > a examiné les figures reclilignes formées par 

 le roulement d'un polygone régulier fur une ligne 

 droite , & il en a déduit d'une manière élégante lesdi- 

 menfions de la cycloïde. Pourgénéralifer fa théorie, 

 fiippofons que le roulement du polygone fe fafle à 

 ^extérieur fur un autre polygone régulier , dont les 

 côtés foient égaux à ceux du polygone roulant, il 

 eft aifé de voir par tout ce qui a été dit ci-defTus, 

 i° : que la figure re&iligne formée ainfi fera égale à 

 l'aire du polygone roulant , plus à un triangle ifof- 

 cele qui auroit 1 pour côté , & pour angle au fom- 

 met la fomme des angles extérieurs des deux poly- 

 gones , ce triangle étant multiplié par la moitié de 

 la fomme des quarrés des cordes du polygone rou- 

 lant : or on a dans le liv. X. des fe&ions coniques de 

 M. de l'Hôpital , une méthode fort fimple pour trou- 

 ver la fomme de ces quarrés. 2 0 . Le contour de la 

 figure fera égal à la corde de la fomme des angles 

 extérieurs , multipliée par la fomme des cordes du 

 polygone roulant : or on a dans le même ouvrage 

 & au même endroit la méthode de trouver la fom- 

 me des cordes d'un polygone. 3 0 . L'angle extérieur 

 formé par deux côtés rettilignes confécutifs de IV- 

 picycloïde , eft égal à la moitié de l'angle au centre 

 du polygone roulant , plus à l'angle extérieur de 

 l'autre polygone. 



Enfin il eft vifible que cette méthode peut s'éten- 

 dre très-aifément à la recherche des propriétés de 

 toute épicycloïde formée par le roulement d'une 

 courbe quelconque fur une autre quelconque (0) 



* EPIDAURIE, adj. pris lubft. fête que les habi- 

 tans d'Epidaure célébrèrent en l'honneur d'Efculape, 

 & que les Athéniens inftkuerent auffi parmi eux. 



* EPIDELIUS , (Mytk.) furnom d'Apollon, Mé- 

 nophanès , qui commandoit la flotte de Mithridate , 

 prit Délos , pilla. le temple d'Apollon , & jetta la fta- 

 tue du dieu dans la mer ; mais les eaux la foûtinrent 

 miraculeufement , & la portèrent fur les côtes de la 

 Laconie , aux environs du promontoire de Mala , oit 

 les Lacédémoniens élevèrent un temple à Apollon E- 

 pidélius , c'eft à-dire à Apollon venu de Délos. La fta- 

 tue merveilleufe fut placée dans ce temple , & le fa- 

 crilége de l'impie Ménophanès fut puni par une mort 

 prompte 6c douloureufe. Quoiqu'il n'y ait guère de 

 faits merveilleux accompagnés d'un plus grand nom- 

 bre de circonftances difficiles à rejetter en doute; que 

 le miracle dont il s'agit ait un caraûere d'autenticité 

 qui n'eft pas commun , & qu'il foit confirmé par le 

 témoignage & le monument de tout un peuple il ne 

 faut pas le croire : il n'eft pas néceffaire d'en 'expo. 



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