u 



déjà trouvées , & on les marque ordinairement par 

 les dernières lettres x,y, occ. de l'alphabet , mar- 

 quant en même tems les quantités connues par les 

 premières lettres de l'alphabet , comme b 9 c 9 d 9 &c. 

 Foye{ Quantité, Caractère, &c 



Toutes les quantités qui doivent entrer dans la 

 queftion , étant ainfi nommées > on examine fi la 

 queftion eft fujette à reftriction , ou non , c'eft-à-dire 

 fi elle eft déterminée ou indéterminée. Voici les rè- 

 gles par lefquelles on peut le favoir. 



i°. S'il y a plus de quantités inconnues qu'il n'y 

 a d'équations données ou renfermées dans la queftion, 

 le problème eft indéterminé, & peut avoir une infi- 

 nité de folutions. Quand les équations ne font pas 

 expreflement contenues dans le problème , on les 

 trouve par le moyen des théorèmes fur l'égalité des 

 grandeurs. FoyeiEGAL. 



2°. Si les équations données ou renfermées dans 

 le problème font précifément en même nombre que 

 les quantités inconnues, le problème eft déterminé, 

 c'eft-à-dire n'admet qu'un nombre de folutions li- 

 mité. 



3°. S'il y a moins d'inconnues que d'équations , le 

 problème eft plus que déterminé , & on découvre 

 quelquefois qu'il eft impolfible par les contradic- 

 tions qui fe trouvent dans les équations. Voye{ Dé- 

 terminé. 



Maintenant , pour mettre une queftion en équa- 

 tion , c'eft-à-dire pour la réduire en différentes équa- 

 tions médiates par le moyen defquelles on puiffe par- 

 venir à une équation finale , la principale chofe à la- 

 quelle on doit faire attention , c'eft d'exprimer tou- 

 tes les conditions de la queftion par autant d'équa- 

 tions. Pour y parvenir , il faut examiner fi les propo- 

 fitions ou mots dans lefquels la queftion eft expri- 

 mée , peuvent être rendus par des termes algébri- 

 ques , comme nous rendons nos idées ordinaires en 

 caractères grecs, latins ou françois, &c. Si cela eft 

 ainfi , comme il arrive généralement dans toutes les 

 queftions que l'on fait fur les nombres ou fur les 

 quantités abftraites , en ce cas il faut donner des 

 noms aux quantités inconnues & connues , autant 

 que la queftion le demande , & traduire ainfi en lan- 

 gage algébrique le fens de la queftion. Ces condi- 

 tions ainfi traduites donneront autant d'équations que 

 le problème peut en fournir. On a déjà donné au mot 

 Arithmétique universelle un exemple de cette 

 traduction d'une queftion en langage algébrique. 



Donnons encore un autre exemple. Un marchand 

 augmente tous les ans fonbien d'un tiers, en ôtant 

 loo liv. qu'il dépenfe par an dans fa famille , au bout 

 de trois ans il trouve fon bien doublé. On demande 

 combien ce marchand avoit de bien au commence- 

 ment de ces trois ans. Pour réfoudre cette queftion , 

 il faut bien prendre garde aux différentes propofi- 

 tions qu'elle renferme , & qui fourniront les équa- 

 tions fuivantes. 

 En langage ordinai- Algébriquement. 

 re un marchand a un 

 bien dont il dépenfe 

 la première année 

 joo liv. 



Et augmente le ref- 



te d'un tiers. 



La féconde année 



il dépenfe 100 liv. 



Et augmente le ref- 4* -700 , 4 * - 700 



îe d'un tiers. 3 9 



La troifieme année i6*-aSoo 16* -3700 



Ml//- ,• 100 ou — — 



il dépenfe ïoo hv. 9 



Et augmente le ref- 16 



te d'un tiers. 



x 



X — IOO. 



.X — 100 + 



1— ou— - — 

 3 3 



4 x -400 



100 OU 



4* - 700 

 16 x - 



OU 



2800 



? + 



X6x 



■3700 



64 x- 14S00 



3,7 * 



27 



OU 



2 X, 



Et au bout des trois 

 ans il eft deux fois 6 A±z±^ 

 plus riche qu'il n'é- 

 toit. 



La queftion fe réduit donc à réfoudre cette équa» 

 ° = u, par le moyen de laquelle on 



non 



27 



trouvera la valeur de x de la manière fnivante. 



On multipliera l'équation par 27, & on aura 64 

 1 4800 = 54 x ; on ôtera de part 8c d'autre 54 x , &: 

 on aura 1 o x — 1 4800 = o , ou 10 * = 1 4800 ; divi- 

 fant par 10, il viendra x = 1480. Ainfi ce marchand 

 avoit 1480 liv. de bien. 



11 réfulte de ce que nous venons de dire , que pouf 

 réfoudre les queftions qu'on propofe fur les nom- 

 bres ou fur les quantités abftraites , il ne faut pref- 

 que que les traduire du langage ordinaire en langage 

 algébrique, c'eft-à-dire en caractères propres à ex- 

 primer nos idées fur les rapports des quantités. Il eft 

 vrai qu'il peut arriver quelquefois que le difeours 

 dans lequel l'équation eft propofée , ne puiffe être 

 rendu algébriquement; mais en y faifant quelques 

 petits changemens, & ayant principalement égard 

 au fens* plutôt qu'aux mots , la traduction deviendra 

 affez facile ; la difficulté qui peut fe rencontrer dans 

 cette traduction vient uniquement de la différence 

 des idiomes , comme dans les traductions ordinaires. 

 Cependant pour faciliter la folution de ces fortes de 

 problèmes , nous allons en donner un exemple ou 

 deux. 



i°. Etant donné la fomme de deux nombres a , & 

 la différence de leurs quarrés b , trouver les nombres ; 

 fuppofons que le plus petit de ces nombres foit x 9 

 l'autre fera a — x , & les quarrés feront x x , & a a— 

 2 a x -f- x x, dont la différence eft a a — 2 a x , qui 

 doit être égale à 6 ; donc a a — 2 a x-==. b ; donc a a — ; 



b — zax & If-T* J 5, — x. 



2a 



Suppofons, par exemple , que la fomme des nom- 

 bres ou la quantité a foit = 8 , & que la différence 



des quarrés foit 16 , alors ou | — ^ fera 4 — 



1 =z 3 se x, & on aura a — x — y> donc les nombres 

 cherchés font 3 & 5. Foye^ Diophante. 



2 0 . Trouver trois quantités x,y, 1, dont on con» 

 noiffe la fomme , étant prifes deux à deux. Suppo- 

 fons que la fomme de x & dey foit a ■> qu e ce ^ e de 

 x &c de £ foit b, &c que celle de y & de ç foit c, on 

 aura les trois équations x -f y = a, x — b , y 

 l — c; pour chaffer maintenant deux des trois quan- 

 tités x , y y £ , par exemple , 1 & y , on aura par la 

 première & par la féconde équation y = a — x & { = 

 b — x ; on fubftituera dans la troifieme équation ces 

 valeurs au lieu de y & de { , & l'on aura a — x -J- 



b — x — c y & x — — ; x étant trouvée , on aura 



y & 1 par le moyen des équations y — a— x &t i=z 

 b — x. 



Par exemple , fi la fomme de x & de y eft 9 , celle 

 de*& deç, 10, &celle dey&deç, 13 ; dans les va- 

 leurs de x , y & 1 , on écrira 9 pour ^,10 pour b , 6c 

 1 3 pour c , & on aura a + b — c = 6 , par conféquent 



~ = | sa 3 , • ou * — * =5 ê & 1 ôu b -» 



X ou 



x — 7. 



a -<-b — c 



3°. Divifer une quantité donnée en un nombre 

 quelconque de parties , telles que les différences des 

 plus gi andes iur les plus petites , foient égales à des 

 quantités données. Suppofons que a foit une quan- 

 tité que l'on propofe de divifer en quatre parties, 

 telles que la première 6c la plus petite foit x ; que 

 l'excès- de la féconde fur la première foit b , celui de 

 la troifieme foit c, & celui de la quatrième d, x -{-b 

 fera la féconde partie , x + c la troifieme , x + d la 



O O 0 o o ij 



