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de principes qu'efl établi tout l'art analytique , au 

 moins pour ce qui regarde la géométrie rectiligne, 

 en y ajoutant feulement la propofit. i re du VI. livre 

 d'Ëuclide , lorfque la queftion propofée regarde des 

 furfaces , ôc auffi quelques propositions des Xï. & 

 XII. livres. En effet toutes les difficultés des problè- 

 mes de la géométrie re&iligne peuvent fe réduire à 

 îa feule compofition des lignes & à la fimilitude des 

 triangles ; de forte qu'il ne fe rencontre jamais d'oc- 

 cafion de faire ufage d'autres théorèmes , parce que 

 tous les autres théorèmes dont on pourrait le fervir, 

 peuvent fe réduire à ces deux-là, & que par conié- 

 quent ces derniers peuvent leur être iubftitués dans 

 quelque folution que ce puiffe être. 



6°. Pour accommoder ces théorèmes à la contrac- 

 tion des problèmes, il efl fou vent néceffaire d'aug- 

 menter la figure, foit en prolongeant certaines lignes 

 jufqu'à ce qu'elles en coupent d'autres , ou qu'elles 

 deviennent d'une certaine longueur ; foit en tirant 

 des parallèles ou des perpendiculaires de quelque 

 point remarquable ; foit en joignant quelques points 

 remarquables ; foit enfin'comme cela arrive quelque- 

 fois , en conftruifant une nouvelle figure fuivant 

 d'autres méthodes , félon que le demandent les pro- 

 blèmes & les théorèmes dont on veut faire ufage 

 pour la réfoudre. 



Par exemple, fi deux lignes qui ne fe rencontrent 

 point rime & l'autre, font des angles donnés avec 

 une certaine autre ligne, on peut les prolonger juf- 

 qu'à ce qu'elles fe rencontrent ; de manière qu'on 

 aura un triangle dont on connoîtra tous les angles , 

 & par conféquent le rapport des côtés ; ou bien fi 

 un angle efl donné , ou doit être égal à un angle 

 quelconque , fouvent on peut compléter la figure , 

 & en former un triangle donné d'efpece , ou fem- 

 blable à quelqu'autre : ce qui fe fait , foit en pro- 

 longeant quelques-unes des lignes de la figure , foit 

 en tirant une ligne qui fouflende un angle. Si un trian- 

 gle propofé efl obliquangle, fouvent on le réfoud en 

 •deux triangles rectangles, en ab a iffant une perpendi- 

 culaire d'un des angles fur le côté oppofé. Si la que- 

 ltion regarde des figures de plufieurs côtés , on les 

 réfoud en triangles par des lignes diagonales , & ainfi 

 des autres : mais il faut toujours avoir attention que 

 par ces divifions la figure fe trouve partagée , on 

 en triangles donnés , ou en triangles fembiables , ou 

 en triangles rectangles 



Ainfi , dans l'exemple propofé , on tirera la dia- 

 gonale B D, afin que le trapèfe ABC D puiffe fe 

 réfoudre en deux triangles , l'un rectangle^ BD,tk 

 l'autre obliquangle B CD (fig. S.). On réfoudra en- 

 fuite le triangle obliquangle en deux triangles rec- 

 tangles , en abaiffant une perpendiculaire de quel- 

 qu'un des angles B,C,D, fur le côté oppofé ; par 

 exemple , du point B fur la ligne C D , qu'on pro- 

 longera en E , afin que B E puiffe la rencontrer per- 

 pendiculairement. Or comme les angles BAD Se 

 BCD pris enfemble font deux droits (par la prop. 

 22 du III. Eucl.) , auffi-bien que BCE & BCD, il 

 s'enfuit que les angles BAD&cB CE font égaux ; 

 par conféquent les triangles BCE & D A B font 

 fembiables. Ainfi prenant A D, AB Se BC pour 

 données , & cherchant CD , on peut faire le calcul 

 de la manière fuivante. AD Se A B donnent B D 

 à caufe du triangle Sangle ABD. AD , AB , BD 

 BC, à caufe des triangles fembiables ABD Se CEB, 

 donnent B E Se CE. BD Se B E donnent ED, à 

 caufe du triangle rectangle BED, Se ED —EC 

 donne CD. Ainfi on aura une équation entre la va- 

 leur de la ligne CD trouvée par ce calcul , & la va- 

 leur de cette même ligne exprimée par une lettre 

 algébrique. On peut auffi (& fouvent il vaut mieux 

 fuivre cette méthode , que de pouffer trop loin un 

 feul & même calcul ) , on peut, dis-je , commencer 



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le calcul par différens principes , ou au moins le 

 continuer par diverfes méthodes, pour arriver à une 

 feule & même conclufion , afin de pouvoir trouver 

 deux valeurs différemment exprimées de la même 

 quantité, lefquelles valeurs puiffent être enfuite fai- 

 tes égales l'une à l'autre. Ainfi A D , A B Se B C, 

 donnent BD, BE & CE, comme ci-devant, en- 

 fuite CD + CE donne E D, enfin D B Se E D don- 

 nent B E , à caufe du triangle rectangle BED. 



7 0 . Ayant choili & déterminé la méthode fuivant 

 laquelle on doit procéder , & fait fa figure , on don- 

 ne d'abord des noms aux quantités qui doivent en- 

 trer dans le calcul , c'eft-à-dire defquelles on doit ti- 

 rer la valeur des autres jufqu'à ce qu'on arrive à une 

 équation; pour cela on aura foin de choifir celles qui 

 renferment toutes les conditions du problème , & 

 qui paroiffent, autant qu'on peut en juger , les plus 

 propres à rendre la conclufion fimple & facile , de 

 manière cependant qu'elle ne foit pas plus fimple que 

 le fujet & le deffein du calculateur ne le demandent. 

 Ainfi il ne faut point donner de nouveaux noms aux 

 quantités dont on peut exprimer la valeur par celle 

 des quantités à qui on a déjà donné des noms. Par 

 exemple , fi une ligne donnée efl divifée en parties, 

 ou fi on a un triangle rectangle , on doit laiffer fans 

 nom quelqu'une des parties de la ligne ou toute la 

 ligne entière , ou un des côtés du triangle , parce 

 que les valeurs de ces quantités peuvent fe déduire 

 de la valeur des données , comme dans l'exemple 

 déjà propofé. Si on fait A D z=.x & B A — a , on ne 

 marquera B D par aucune lettre , parce qu'elle efl 

 le troifieme côté du triangle rectangle ABD , Se que 



par conféquent fa valeur efl V x x — aa. Si on nom- 

 me enfuite B C, b, on verra que les triangles fem- 

 biables DAB Se BCE donnent A D : A B : : B C : 

 C E. Or de ces quatre lignes les trois premières font 

 déjà données ; ainfi on ne donnera point de nom 

 à la quatrième C E , dont la valeur fe trouvera être 



par le moyen de la proportion précédente. Si 

 donc on nomme D C, c, on ne donnera point de 

 nom kD E , parce que fes parties DC & CE , étant 



l'une c , l'autre ^ 5 leur fomme c + ^ efl la va- 

 leur de D E. 



8°. Par les différentes opérations qu'on fait pour 

 exprimer les lignes auxquelles on n'a point donné 

 de noms , le problème efl déjà prefque réduit à une 

 équation; car après qu'on a exprimé ainfi les diffé- 

 rentes lignes qui doivent entrer dans la folution de 

 la queflion propofée , il ne faut plus que faire atten- 

 tion aux conditions du problème , pour découvrir 

 une équation. 



Par exemple , dans le problème dont nous avons 

 déjà parlé, il ne faut que trouver par le moyen des 

 triangles rectangles B CE SeBDE, deux valeurs 



de BE ; en effet on aura BC % — CE 1 ou b b — 

 = BE 3 - Se BD Z — DE 2 , ou xx — a a - ce — 

 - — - —BE-. Egalant enfemble ces deux va- 



* * x aabb 



leurs de B E 1 , Se ôtant ~- ? on aura l' équation 

 bb — xx — aa— ce — l^- , qui délivrée des frac- 

 tions , donne = aax + bbx + iabc + ccx. 



9 0 . A l'égard de la géométrie des lignes courbes; 

 on a coûtume de déterminer ces lignes , ou en les 

 fuppofant décrites par le mouvement local de quel- 

 ques lignes droites , ou en les repréfentant par des 

 équations qui expriment indéfiniment le rapport de 

 certaines lignes droites difpofées entr'elles dans un 

 certain ordre Se fuivant une certaine loi, extermi- 

 nées à la courbe par une de leurs extrémités. Koy&i 

 Courbe & Lieu. 



Les anciens déterminoient les courbes , ou par le 



