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«il oiive ment continu de quelque point , ou par les 

 ferions des folides, mais moins commodément qu'on 

 ne les détermine par la féconde des deux manières 

 dont nous venons de parler. Les calculs qui regar- 

 dent les courbes , iorfqu'on les décrit de la première 

 manière , le font par une méthode femblable à celle 

 que nous avons donnée jufqu'ici. Suppolbns, par 

 exemple, que ARC (7%. ^9.) foit une ligne courbe 

 décrite par le point vertical R d'un angle droit ARq>, 

 dont un côté A R puirTe fe mouvoir librement , en 

 paffanr toujours par le point A donné de polition , 

 tandis que l'autre côté Ry d'une longueur détermi- 

 née coule ou griffe le long d'une ligne droite AD , 

 aufîi donnée de polition. On demande de trouver le 

 point C, dans lequel une ligne droite CD aufîi don- 

 née de polition doit couper cette courbe : pour cela 

 on tirera les lignes AC , C F , qui peuvent repréfen- 

 ter l'angle droit dans la polition qu'on cherche ; on 

 mènera la perpendiculaire CB fur A F ; on s'appli- 

 quera enfuite à trouver le rapport des lignes, fans 

 examiner celles qui font données ou celles qui ne le 

 font pas , on verra que toutes dépendent de C F, 

 & de l'une des quatre lignes BC , BF, AF&cAC; 

 fuppofant donc CF = a, & CB — x , on aura d'a- 



X X 



bord B F— y/ a a — x x , & A B = x/ ; car à 



r * V aa. — xx ' 



caufe des triangles retlangles A CF, CBF, on a BF : 

 BC : : BC : A B. De plus , comme CD eft donnée de 

 polition, AD eft donnée; ainli on apellera^Z?,£;on 

 connoîtaulfi la raifonde BC à BD, qu'on fuppofe- 

 ra comme d à e , & on aura BD — ~ &AB = b — 



a 



e x i j ex xx 



—r : donc b — — = — — 



\. Si on quarre les deux 



membres de cette équation, & qu'on les multiplie en- 

 suite par a a — x x , on réduira Y équation à cette for- 



. zb ddexî + aaee — b h dd x x — Xaabdex-t-aabbdd . 



fïlQ X 4 = ■ — y 



dd + e e z 



&Z par le moyen des quantités données a, b, d , e , 

 en tirera de cette équation la valeur de x. Cette va- 

 leur de x ou de BC étant comme , on tirera à la 

 diftance B Cune ligne droite parallèle hAD, qui 

 coupera la courbe, &c CD au point cherché C 



Si, au lieu de deferiptions géométriques, on fe 

 fert d'équations pour défigner les lignes courbes, les 

 calculs deviendront encore plus limples & plus fa- 

 ciles , puifqu'on aura moins d'équations à trouver ; 

 ainli fuppofons que l'on cherche le point d'interfec- 

 tion C de l'ellipfe donnée ACE (fig. 10.) avec la li- 

 gne droite CD donnée de polition ; pour défigner 

 Tellipfe , on prendra une des équations qui la déter- 

 minent , comme rx — r - x x — y y, dans laquelle x 



marque une partie indéterminée A B ou Ab de l'axe 

 prife depuis le fommet A, 6a y une perpendiculaire 

 B C s terminée à la courbe , & où r & q font données 

 "par l'efpece donnée de l'ellipfe. Or, puifque C D eft 

 donnée de polition , A D lera aulli donnée ; on la 

 nommera A , & BD fera a — x ; l'angle ABC fera 

 aufîi donné , & par conféquent le rapport de B D à 

 BC, qu'on fuppofera être ceiui de 1 à e $ &BC(y} 

 fera a e — ex, dont le quarré e e a a — 1 e z a x 

 e e x x doit être égal k r x — r —. Cette équation 



étant réduite , donnera x x = 



r xx 



îaecx + r x — a a e e 



e e + r 



OU 



x-=. 



4ee 



e e -t- r 



On remarquera que lors même que l'on détermine 

 les courbes par des deferiptions géométriques ou par 

 des feclions de folides , on peut toùjours les déli- 

 gner par des équations que par conféquent toutes 



S. 



les difficultés des problèmes qu'on petit propofeî fur- 

 ies courbes, fe réduifent au cas oii on envifageroit 

 les courbes fous ce dernier point de vue. Ainfi dans 

 le premier exemple (fig t S ) } ÛAB eft appelié x t 



&BC,y,te troilieme proportionnelle B F fera. 



dont le quarré joint au quarré BC eft égal à CF X - 



c'eft-à-dire que y — + yy = aaou y*+xxyy=3 



aux x. Par cette équation on peut déterminer tous 

 les points C de la courbe ARC, en trouvant la lon- 

 gueur de chaque ligne B C qui répond à chaque par- 

 tie de l'axe AB ; & cette équation peut être fort 

 utile dans la folution des problèmes qu'on aura à ré- 

 foudre fur cette courbe. 



Quand une courbe n'eft point donnée d'efpece ; 

 mais qu'on propofe de la déterminer, on peut ftip- 

 pofer une équation à volonté qui exprime la natur® 

 d'une manière générale ; on prendra cette équation, 

 pour la véritable équation de la courbe, afin de pou- 

 voir par ce moyen arriver à des équations, par lé 

 moyen defquelles on déterminera la valeur des quan* 

 tités qu'on a prifes pour données. 



Jufqu'ici nous n'avons fait que traduire Tarticl© 

 équation à -peu-près tel qu'il fe trouve dans l'Encyclo- 

 pédie angloife. Cet article eft tiré prefque en entier 

 de V Arithmétique univerjllU de M. Newton ; il eft aifo 

 d'y reconnoître en effet la main d'un grand maître, 

 & nous avons crû devoir le donner tel qu'il eft par 

 cette raifon , Y Arithmétique univerfelle n'ayant point 

 d'ailleurs été traduite jufqu'ici en notre langue. Mais 

 il refte encore fur la théorie des équations beaucoup 

 de chofes à dire pour rendre cet article complet dans 

 un ouvrage tel que l'Encyclopédie. Nous allons tâ- 

 cher de fatisfaire à cet objet ; & quoique la matière- 

 ait déjà été fort maniée dans un grand nombre d'ou- 

 vrages , nous efpérons montrer qu'elle a été traitée 

 d'une manière infuffifante à plulieurs égards , & la 

 préfenter d'une manière prefque entièrement nou- 

 velle. 



Je ne parlerai point ici de la manière de préparer 

 une équation , en faifant évanoiiir les fractions , les 

 radicaux, & toutes les inconnues, excepté une feule, 

 &c Ces opérations feront détaillées au mot Eva- 

 nouie. 



Je ne parlerai point non plus de l'abaifTement des 



équations. V oyc^ ABAISSEMENT & RÉDUCTION. 



Je ne parierai point enfin des équations du premier 

 degré , c'eft-à-dire de celles où l'inconnue ne monte 

 qu'à une dimenfion : leur folution eft fans difficulté. 

 K Transposition. J'entrerai donc en matière par 

 les équations d'un degré plus élevé que l'unité; je les 

 fuppofe abaiffées au plus petit degré polîible, & dé- 

 livrés de radicaux & de fratlions , enfin ordonnées 

 fuivant les dimenlions de l'inconnue .r, c'eft-à-dire 

 de manière que le premier terme contienne x élevée 

 au plus haut degré, que le fécond terme contienne x' 

 élevée au plus haut degré fuivant, & ainli de fuite 

 jufqu'au dernier terme , qui ne contiendra point x ; 

 je fuppofe enfin que le premier terme n'ait d'autre 

 coefficient que l'unité (nous enfeignerons au mot 

 Transformation cette manière de préparer IV- 

 quatiori), ôc que le fécond membre de Y équation foit 

 zéro. 



Soit doncx m -\-px m ~ 1 +qx m ~ 2 , ... -f- r=o; 

 Y équation à réfoudre , dans laquelle il faut trouver 

 la valeur de x. 



Il eft évident , par l'énoncé même de la queftion, 1 

 qu'il faut trouver une quantité a, pofitive ou néga- 

 tive , réelle ou imaginaire , qui étant fubftituée à la 

 place de x dans x m -* r px m ~ l J r &c. tout fe détruis 

 fe. Je fuppofe qu'on ait trouvé cette quantité a , 

 je dis que la quantité x m ■j r px m "' 1 4-? 



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