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4. r (en faifant, fi l'on veut , abftraction de fon éga- 

 lité à zéro , & en la regardant comme une quantité 

 algébrique réelle) fera divîfible exactement par x— a. 

 Car il eft évident , i°. que x ne montant qu'au pre- 

 mier degré dans le divileur, on pourra par les règles 

 de la divifion algébrique ordinaire ( voye{ Divi- 

 sion ) , pouffer l'opération jufqu'à ce qu'on arrive 

 à un refte que j'appelle R , & clans lequel x ne le 

 trouvera pas. Soit donc Q le quotient, il eft évi- 

 dent que fi au produit du quotient Q par le divileur 

 x-a f on ajoûte le reflet, on aura une quantité 

 égale & identique au dividende. Or, en faifant dans 

 le dividende x—a, tout s'évanouit par l'hypothefe ; 

 donc tout doit s'évanouir aufli, en faifant x * 

 dans la quantité (x-a) Q + & cette quantité 

 doit alors fe réduire à zéro ; mais en faifant x = a, 

 cette quantité eft (a -a) Q + R- Donc, puilque 

 (a-a) Q-f-i?3ro,onaA = o. Donc la divifion le 

 fait fans refte. Donc x m + px m ~ l + 1 x" 1 ' 1 . . . . + 

 r fe divife exactement par x — a. 



Je fais un raifonnement femblable fur le quotient 

 provenu de la divifion : je fuppofe que b fubftitué à 

 la place de x , faffe évanouir tous les termes de ce 

 quotient , je dis qu'il eft divifible par x — b;& ii eft 

 évident que fi b fubftitué à la place de x , fait éva- 

 nouir le quotient Q , il fera évanoiiir aufli le divi- 

 dende : car le dividende eft = (x-a) Q ; donc toute 

 fuppofition qui réduira Q à zéro , y réduira aufli le 

 dividende. Donc* — b divife aufli exactement le di- 

 vidende. 



On trouvera de même, qu'en fuppofant une quan- 

 tité c , qui fubftituée à la place de x , faffe évanouir 

 le quotient de Q divifé par x-b, ce nouveau quo- 

 tient , & par conféquent le dividende , lera divifible 

 par x — c. m 



Ainfi on aura autant de quantités {impies x — a, 

 x — b, x — c, qu'il y a d'unités dans m , lefquelles 

 quantités fimples donneront par leur multiplication 

 le dividende ou équation propofée. 



On pourra donc , au lieu de V équation donnée , 

 fuppofer (x-a) (x-b) (x-c)=zo: mais il faut 

 bien fe tarder d'en conclure , comme font tous les 

 auteurs d'Algèbre, qu'on aura x — a — o, x—bz^o, 

 x — c = o, &c. car, pourra dire un commençant, 

 comment fe peut-il faire qu'une même quantité x 

 foit égale à plufieurs grandeurs différentes a , b , c ? 

 Si vous dites que x , dans ces équations , ne défigne 

 qu'en apparence la même grandeur , & défigne en 

 effet des grandeurs différentes , en ce cas vous vous 

 rejettez dans une autre difficulté ; car fi cela étoit, 

 dans une équation du fécond degré , par exemple , 

 comme x x -\~px -f q , xx ne feroit plus un quarré, 

 cependant tous les AÎgébriftes le traitent comme tel ? 

 Voici la réponfe à cette difficulté , qui , comme je le 

 fai par expérience , peut embarraffer bien des com- 

 roençans. La quantité propofée eft le produit de x 

 — a. par x — b, par*— c, &c. Or la quantité pro- 

 pofée eft fuppofée égale à zéro , & quand une quan- 

 tité eft égale à zéro, il faut qu'un de les facteurs le 

 foit ; ainli la quantité ou équation propofée eft le 

 produit de x — a — o par x — b & par x — c, &c. 

 cm de x-b=zo par x-a ck par x — c, Sec. ou de 

 x— c = o par x — a & par x — b , &c. Dans chacun 

 de ces cas on ne fuppofe à la fois qu'une des êqua~ 

 tions partielles égale à zéro ; x eft la même quan- 

 tité dans chacun des cas , & elle eft différente dans 

 les différens cas. Ainfi xx — ax + ab — o eft*- a 



-bx 



s=o par x-b, ou x-b — o par x-a; cette équa- 

 tion x x — ax -\-abzzLQ repréfente ces deux-ci ; 

 — bx 



l'une aa-aa + ab(en mettant a pour x) , & l'au- 

 -ab 



tre bb — ab + ab (en mettant * pour #)• 

 r-bb ' 



Dans l'un des cas , x &c fes puiffances repréfen- 

 tent a & fes puiffances ; dans l'autre , x & fes puif- 

 fances repréfentent £&fes puiffances. Ainfi une équa- 

 tion d'un degré quelconque repréfente réellement 

 autant d'équations particulières qu'il y a d'unités dans 

 fon degré ; équations dans chacune defquelles x a 

 une valeur différente. Pourfuivons & approfondif- 

 fons cette matière, qui, je le répète , eft fort mal 

 développée par-tout. 



La démonîtration précédente, dira-t-on, fuppofe 

 qu'il y a toujours une quantité a poffible,qui fubfti- 

 tuée à la place de x dans une quantité algébrique, 

 x m ~\-p x m ~ 1 , &c. fera évanoiiir tous les termes. 

 Sans doute : mais cette fuppofition eft légitime. J'ai 

 démontré le premier, Mém. de l'ac. de Berlin , iy^€ % 

 qu'il y avoit toujours en effet une telle quantité, la- 

 quelle fera ou réelle , ou égale à m-\-n \/— \ , m 

 n étant réelles, 6c m pouvant être = 0. Cette pro- 

 portion fondamentale de l'Algèbre & même du cal- 

 cul intégral ( Voyt^ Fraction rationnelle & 

 Intégral) n'avoit été démontrée par perfonne 

 avant moi : j'y renvoyé le lecleur, il la trouvera 

 encore plus développée , & mile à la portée des com- 

 mençans dans le traité du calcul intégral de M. de 

 Bougainville le jeune, première partie. Foye^ Ima- 

 ginaire. 



De-là il s'enfuit qu'une équation eft le produit 

 d'autant de quantités fimples, x—a, x—b, x—c , &c« 

 qu'il y a d'unités dans le degré de Y équation ; quel- 

 ques-unes des quantités a , b , c , ou toutes, peuvent 

 marquer des quantités réelles , égales ou inégales , 

 imaginaires fimples comme n \/—i, ou mixtes ima- 

 ginaires comme m + n \/—i. 



On remarquera maintenant que le produit de x 

 — a par x—b ne peut être égal à un autre produit 



x — t par x—f ; car fi cela étoit, on auroit *Z f" 

 = *~J b • Il faudroit donc ou que x — a fût divi- 

 fible exactement par x—f, ainfi que x — e par x — b f 

 ce qui ne fe peut , ou que x—f 6c x — b euffent un 

 divifeur commun, ainfi que x — a 6c x — e, ce qui 

 ne fe peut encore. Tout cela eft évident par foi- 

 même. 



Donc une quantité quelconque xx+px-\- q, où * 

 monte au fécond degré , ne peut être le produit que 

 de deux facteurs fimples x — a , x — b , 6c il ne peut 

 y en avoir d'autres que ces deux-là. Donc dans une 

 équation du fécond degré , x ne peut avoir que deux 

 valeurs différentes a, b, & jamais davantage. C'eft 

 une fuite des propofitions précédentes. 



De même on ne fauroit fuppofer x — a par x—b 

 par x — c, égal à x—c par x — /par x-g; car on 



auroit r = -, rrr r • Donc les dé- 



(*-/)(*-*) (»-*)(*-0 



nominateurs de ces fractions devroient avoir un di- 

 vifeur commun , 6c par conféquent auffi leurs numé- 

 rateurs x — a, x — e, ce qui ne fe peut. Donc dans 

 une équation du troifieme degré , 6c par la même rai- 

 fon dans toute équation, l'inconnue ne peut avoir 

 qu'autant de valeurs , foit réelles, foit imaginaires, 

 qu'il y a d'unités dans le degré de Véquation. Voilà 

 encore une propofition qu'aucun auteur n'avoit fuf- 

 fifamment prouvée. On appelle racines , les différen- 

 tes valeurs de l'inconnue. Foye{ Racine. 



Il pourrait fe préfenter aux commençans une diffi- 

 culté fur la démonstration précédente. Soit , diront- 

 ils, a = 4, b=zij , c~j, e — 8, àcx= z, on aura 

 (x-a) X (x-b) = ~2X-I5=-5X~6 = 

 (x—j) X (x — ■ 8) = (x—c) X (x—e) ; on peut donc 

 avoir , continueront-ils , (x—a) (x—b) as (x— c) 

 (x — e). La réponfe à cette objection eft bien fim- 

 ple ; il eft vrai qu'il peut y avoir des cas où , en 

 donnant à x une certaine valeur, on ait (x — a) 

 (x — ■ b ) = (x «- c) (x—e); mais il faudroit , pour 



renverfex 



