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renverfer la démonftration précédente, que quelque 

 valeur qu'on donnât à on eût toujours cette der- 

 nière équation , x marquant ici une quantité géné- 

 rale & indéterminée : or cela eft impoffible. En ef- 

 fet , fi cela étoit , fuppofons x = a , on auroit donc , 

 à caufe de l'égalité fuppofée, {a— a) (a—b) — (a—c) 

 (a—e), c'eft-à-dire 0= (a—c) (a — e) ; ce qui ne 

 le peut , puifque c & e font différentes de a & de 

 h. De - là on tire une autre démonftration de la 

 propofition dont il s'agit , & qu'on peut appliquer 

 aux degrés plus compofés ; par exemple, fi (x— a) 

 (x — b) (x — c) pouvoit être égal à (x — e) (x—f) 

 (* — f) ? on auroit (a — e) ( a —/-) (a-g)-O, 

 ce qui ne fe peut ; & ainfi du refte. 



Je paffe un grand nombre de propofitions qu'on 

 trouvera fuffifamment démontrées par - tout , par 

 exemple celles qui font indiquées au mot Coeffi- 

 cient : c'eft principalement à des chofes nouvelles, 

 ou du moins préfentées d'une manière nouvelle & 

 rigoureufe, que je defline cet article. J'obferverai 

 feulement que les propofitions connues fur les coeffi- 

 ciens des équations, fervent quelquefois à démontrer 

 d'une manière fimple & élégante des propofitions de 

 Géométrie ; M. de l'Hôpital , dans le liv. X. de fes 

 feclions coniques , s'en eft heureufement fervi pour 

 démontrer certaines propriétés des cordes du cercle. 



Si une des racines de Y équation x m -\-p x m ~ l , . . . 

 -J- r = o eft un nombre entier a > pofitif ou néga- 

 tif, ce nombre a fera un des divifeurs du dernier 

 terme r; car on a a m + p a m ~ l -\- na-\-r~o, donc 



a m + p a m ~ ï + n a = — r, donc a m ~ 1 + 



p a m ~ % . . . . + 72 — r —. Or le premier membre de 



cette équation eft un entier , puifqu'il eft compofé 



d'entiers : donc — eft un entier , donc a eft un des 



divifeurs de r. La démonstration ordinaire de cette 

 propofition me paroît fujette à difficulté ; c'eft par 

 cette raifon que j'en ai fubftitué une autre. 



Si toutes les racines d'une équation font réelles , 

 & que tous les termes de V équation ayent le figne -f-, 

 toutes ces racines feront négatives ; car, puifque tous 

 les termes ont le figne -f- , il eft évident qu'il ne peut 

 y avoir de quantité pofitive , qui étant fubftituée à 

 la place de x , rende Y équation égale à zéro. 



Dans une équation, les racines imaginaires vont 

 toujours deux à deux ; enforte que fi a -\- b \/—\ 

 eft racine d'une équation , a — b j/ — 1 en fera une 

 autre. J'ai démontré le premier cette propofition 

 dans les mém. de Vacad. de Berlin iJ^-G. Voye-^ aujji 

 l'ouvrage de M. de Bougainville déjà cité , & fart. 

 Imaginaire. 



Donc puifque les racines imaginaires font tou- 

 jours en nombre pair, il s'enfuit que dans les équa- 

 tions d'un degré impair il y a du moins une racine 

 réelle ; ce qu'on peut encore démontrer en cette 

 forte. Soit , par exemple , x^-\-px x -{-qx-\-r — o, 

 en donnant à x toutes les valeurs pofïtives poffibles 

 depuis o jufqu'à l'infini , on a toujours un réfultat 

 réel , & ce réfultat devient infini & pofitif quand 

 x — 00, c'eft-à-dire <x>3 ; de même en donnant à x 

 toutes les valeurs négatives poffibles depuis o juf- 

 qu'à l'infini , on aura toujours un réfultat réel , & le 

 dernier réfultat eft infini & négatif quand x = — 00, 

 c'eft -à- dire — go 3 ; donc puifqu'on a une fuite de 

 réfultats tous réels & fans interruption, dont les 

 deux extrêmes font de différens fignes , il s'enfuit 

 qu'il y a un de ces réfultats égal à zéro. Donc il y 

 a une valeur réelle de x qui rend x^ -f/x a -j- q x 

 -f- r — o. Donc x a au moins une valeur réelle dans 

 cette équation. Il en eft de même des autres cas. 



Dans une équation délivrée de fractions , & dont 

 le premier terme n'a d'autre coefficient que l'unité, 

 la racine ne fauroit être une fraction — , dont le dé- 

 Tome V* 



nominateur & le numérateur foient des nombres en- 

 tiers & rationnels. Voilà encore une propofition bien 

 mal prouvée dans prefque tous les auteurs. En voici 

 une meilleure démonftration. Soit x^ -\~p x % -f- q x 



+ r = o ; & fuppofons que foit racine de Yéqua* 

 tion , on aura donc ~ + IjjL + i£- -f r =z o , & 

 a* -f p cl 1 b -f qab x -f- r b^ — o. Donc , fuivant la 



théorie des équations donnée ci-deffus, le nombre 

 entier a doit être divifeur du dernier terme rb^ ; or 

 comme a & b n'ont aucun divifeur commun , car la 



fraction ~- eft fuppofée , comme de raifon, réduite 



à fes moindres termes (Voy. Diviseur, Fraction, 

 & l'addition à Y article DIVISEUR dans Yerrata de ce 

 volume), il s'enfuit que a & b* n'ont aucun divi- 

 feur commun : donc a doit être divifeur de r ; donc 

 r —na , n étant un nombre entier. Donc on aura 

 a* -f- p a x b -j- q a b" 1 + n ab^ = 0; donc a % -\-p a h 

 -}- q b % -{- n b^ =0. Donc , par la même raifon que 

 ci-deffus , a doit être un divifeur du dernier terme 

 q b 7 - -\- nb"* , & par conséquent de q-\-b n ; donc q 

 -J- b nz=. ma; donc <z 2 -f- pab-\-b :L ma=o ; donc 

 a-\-p b -{-b* m — o ; donc-^- = — p — mb. Donc -y 



n'étoit point une fraction , ce qui eft contre Phypo- 

 thefe. On démontrera de la même manière dans tous 

 les autres cas , la propofition dont il s'agit. Donc , 

 &c. 



Il eft évident, parla nature de cette démonftra- 

 tion, qu'elle ne s'étend qu'aux fractions rationnelles. 

 Une équation fans fractions & fans radicaux peut en 

 effet avoir pour racines des fractions irrationnelles ; 

 par exemple, x % — x — 1 =0, & une infinité d'autres. 



Voyez aumot Transformation, ce qui regarde 

 la manière de transformer une équation en une autre^ 

 matière qui n'a d'ailleurs aucune difficulté, &qui eft 

 affez bien traitée dans prefque tous les Algébriftes ; 

 par exemple , dans VAnalyfe démontré du P. Rey- 



u, &c. 



J 



On trouvera au mot Racine , le fameux théorè- 

 me de Defcartes fur les racines des équations , dé- 

 montré par M. l'abbé de Gua dans les mém. de Uacad* 

 de ij^i , auxquels le lecteur peut avoir recours. 

 Nous nous bornerons ici à quelques réflexions géné? 

 raies fur les racines des équations. 



Les racines d'une équation font les différentes va- 

 leurs de l'inconnue ; il femble donc qu'un problème 

 doive avoir autant de folutions qu'une équation a de 

 racines ; & cela eft vrai en effet dans un certain fens, 

 mais ceci a pourtant befoin d'une plus ample expli- 

 cation. 



i°. Si on propofoit de trouver un nombre x , tel 

 que le quarré de ce nombre plus 1 5 fût égal à 8 fois 

 le nombre cherché, c'eft-à-dire tel que xx — 8x4-15 

 fût = o , on trouveroit que cette équation auroit 

 deux racines réelles & pofïtives x ■=. 3 , x — j ; & en 

 effet, le quarré de 3 qui eft 9 augmenté de 1 5, donne 

 24 égal à 8 fois 3 ; & le quarré 2 5 , augmenté de 

 15 , donne 40 , égal à 8 fois 5. Ahuries deux raci- 

 nes de Y équation fatisfont en ce cas au problème > 

 fans rien changer à fon énoncé. Il y a donc des cai 

 où toutes les racines d'une équation réfolvent cha- 

 cune le problème dans le fens le plus direct & le plus 

 immédiat que fon énoncé préfente. 



2 0 . Si on propofoit de trouver un nombre x 

 plus petit que 1 , & tel que le quarré de 1 — .-c fût 

 égal à \ , on auroit (1 — x) 2 & 1 — + ^- ; 

 donc x— ~tk x = |. Voilà deux racines réelles & 

 pofïtives , cependant il n'y a proprement que la ra- 

 cine 7 qui fatisfaffe au problème , car la racine | 

 donne 1 — x = — \ , quantité négative. Or l'on fup- 

 pofe dans l'énoncé que x eft plus petit que 1 ; pour- 

 quoi donc trouve-t-on une autre racine réelle & po- 



PPppp 



