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îitive ? le voici. Si on eût propofé ce problème : î 

 trouver un nombre, x plus grand que i , & tel que ( x 



i) 1 , égal à ^, on âuroit eu précifément la 

 même équation que celle qui eft donnée par la folu- 

 tion du problème précédent ; & en ce cas x = § âu- 

 roit été la vraie valeur de l'inconnue , ainfi V équa- 

 tion î^-ix-^-x x=.~ repréfente réellement ces deux- 

 ci, (i-x) 2 = i & (#-i) l =:£, qui font la tra- 

 duction algébrique de deux queftions , très-différen- 

 tes dans leur énoncé. La première de ces queftions 

 a pour réponfe x s± £ , la féconde x=.\. Donc, quoi- 

 que les racines d'une équation foient toutes deux 

 réelles & pofitives, il ne s'enfuit pas toujours qu'el- 

 les réfolvent toutes exactement & rigoureufement 

 la queftion ; mais elles la réfolvent , en la préfen- 

 îant en deux fens différens , dont l'Algèbre ne peut 

 exprimer la différence ; par exemple , dans le cas 

 dont il s'agit , l'énoncé devroit être : trouver une 

 grandeur x telle que la retranchant de l'unité, ou re- 

 îranchant l'unité d'elle , le quarré du refte foit égal 

 à La traduction algébrique du, premier énoncé efl: 

 par fa nature plus générale que ce premier énoncé ; 

 c'eft donc le fécond qu'il faut y fubftituer pour ré- 

 pondre à toute l'étendue de la traduction. Plufieurs 

 algébriftes regardent cette généralité comme une 

 richeffe de l'Algèbre , qui , difent-ils , répond non 

 feulement à ce qu'on lui demande , mais encore à ce 

 qu'on ne lui demandoit pas , & qu'on ne fongeoit 

 pas à lui demander. Pour moi, je ne puis m'empê- 

 cher d'avouer que cette richeffe prétendue me paroît 

 un inconvénient. Souvent il en réfulte qu'une équa- 

 tion monte à un degré beaucoup plus haut qu'elle 

 ne monteroit , fi elle ne renfermoit que les feules 

 racines propres à la vraie folution de la queftion, 

 telle qu'elle efl: propofée. Il eft vrai que cet incon- 

 vénient feroit beaucoup moindre , & feroit même 

 en un fens une véritable richeffe , fi on avoit une 

 méthode générale pour refondre les équations de tous 

 les degrés ; il ne s'agiroit plus que de démêler parmi 

 les racines celles dont on auroit vraiment befoin : 

 mais malheureufement on fe trouve arrêté dès le troi- 

 lieme degré. Il feroit donc à fouhaiter, puifqu'on ne 

 peut réfoudre toute équation , qu'on pût au moins 

 î'abaiffer au degré de la que/lion, c'eft-à-dire à n'avoir 

 qu'autant d'unités dans l'expofant de fon degré que 

 la queftion a de folutions vraies & directes , mais la 

 nature de l'Algèbre ne paroît pas le permettre. 



3°. Si on propofoit de trouver un nombre x , tel 

 que retranchant l'unité de ce nombre , le quarré du 

 rejle fût égal à quatre , on trouveroit (x — i ) 2 = 4 , 

 a: 2= 3 & # = — i.La première racine x = 3 , qui eft 

 réelle & pofitive, réfout la queftion ; à l'égard de 

 x = — 1 , elle ne réfout point la queftion propofée , 

 elle réfout celle-ci : trouver un nombre, auquel 

 ajoutant l'unité , le quarré de la fomme foit égal à 

 quatre. On voit que dans cet énoncé , ajouter fe 

 trouve au lieu de retrancher, & fomme au lieu de refis. 

 En effet (x + 1) 2 = 4 donne x = 1 81 x=z — 3 , qui 

 font précifément les racines de V équation précédente 

 prifes avec des fignes contraires. D'où l'on voit que 

 les racines négatives fatisfont à la queftion, non 

 telle qu'elle eft propofée , mais avec de légers chan- 

 gemens qui confiftent à ajoûter ce qu'on devoit re- 

 trancher , ou à retrancher ce qu'on devoit ajoûter. 

 Le ligne — qui précède ces racines indique une fauffe 

 fuppofition qui a été faite dans l'énoncé , d ! 'addition 

 au lieu de foujlraclion , &c. & ce figne — redreffe 

 cette fauffe fuppofition. En veut-on un exemple plus 

 fimple ? qu'on propofe de trouver un nombre x 9 qui 

 étant ajouté à zo, la fomme foit égale à 10, on aura 

 2,0 -{-■%■= 10 & = — 10, ce qui fignifîe qu'il falloit 

 énoncer ainfi la queftion : trouver un nombre qui 

 étant retranché de 20, le refte foit égal à 10, & ce 

 îiombre eft 10, 



E Q U 



4°. Si on propofoit cette queftion , trouver un 

 nombre x, tel que, ajoûtant l'unité à ce nombre, le 

 quarré du tout foit égal à ^, on auroit (x+ 1) 2 zri, 

 # = — 7 , * = — ■ ~ : voilà deux racines négatives , ce 

 qui lignifie qu'il falloit changer ainfi la queftion ; 

 trouver un nombre tel , que retranchant l'unité de 

 ce nombre , s'il eft plus grand , ou le retranchant de 

 l'unité , s'il eft plus petit , le quarré du refte foit 

 égal à ^. C'eft précifément le cas du n°. 1 précé- 

 dent , dont les racines font les mêmes que de ce cas- 

 ci, avec des fignes contraires. 



<j°. Tout nous prouve donc que les racines néga- 

 tives ne font deftinées qu'à indiquer de fauffes fup- 

 pofitions faites dans l'énoncé , & que le calcul re- 

 dreffe. C'eft pour cela que les racines négatives ont 

 été appellées faujfes par plufieurs auteurs , & les ra-* 

 cines pofitives, vraies, parce que les premières ne 

 fatisfont , pour ainfi dire , qu'à un faux énoncé de la 

 queftion. Au refte je dois encore remarquer ici que 

 quand toutes les racines font négatives, comme dans 

 le cas précédent , l'inconvénient eft léger ; ce§ raci- 

 nes négatives indiquent que la folution avoit un 

 énoncé abfolument faux : redreffez l'énoncé , toutes 

 les racines deviendront pofitives. Mais quand elles 

 font en partie pofitives , & en partie négatives , l'in- 

 convénient que caufe la folution algébrique eft , ce 

 me femble , alors plus grand ; elles indiquent que l'é- 

 noncé de la queftion eft, pour ainfi dire, en partie 

 vrai & en partie faux ; elles mêlent , malgré nous , 

 une queftion étrangère avec la queftion propofée , 

 fans qu'il foit poflible de l'en féparer, en rectifiant 

 même l'énoncé ; car qu'on change dans l'énoncé les 

 mots ajoûter & fomme , en ôter & rejle , la racine né- 

 gative devient à la vérité pofitive ; mais la pofitive 

 devient négative , & on fe trouve toujours dans le 

 même embarras , fans pouvoir réduire la queftion à 

 un énoncé qui ne donne que des racines réelles po- 

 fitives. Il en eft de même dans le cas dun°. 1 précé- 

 dent , où , quoique les racines foient toutes réelles 

 & pofitives , cependant elles ne réfolvent pas toutes 

 la queftion ; néanmoins il y a encore cette différence 

 entre ce cas & celui du n°. 3 , que dans celui-ci , pour 

 changer les racines négatives en pofitives, il ne faut 

 changer qu'en partie les fignes de x -f- 1 , c'eft-à-dire 

 écrire x—i ou i^x j au lieu que dans le cas du n°. 1, 

 il faut changer tout-à-la-fois les deux fignes de 1— x 9 

 & écrire x — 1 dans l'énoncé , pour employer la ra- 

 cine pofitive inutile à la queftion. 



6°. Les racines négatives, je le répète, font un 

 inconvénient , fur-tout lorfqu'elles font mêlées avec 

 les pofitives ; mais il y a bien de l'apparence qu'on 

 ne parviendra jamais à lever cet inconvénient ; peut- 

 être pourroit-on le diminuer, fi on avoit une bonne 

 méthode de réfoudre les équations. C'eft ce que nous 

 tâcherons plus bas de faire fentir, ou plutôt entre- 

 voir, en parlant des équations du fécond degré. Mais 

 ce qui prouve que les racines négatives ne font pas 

 tout-à-fait inutiles à la folution d'un problème, c'eft 

 l'application de l'Algèbre à la Géométrie. Les or- 

 données négatives d'une courbe font anffi réelles que 

 les pofitives, & appartiennent aufii effentiellement 

 à la courbe ; nous l'avons prouvé au mot Cou: be 

 d'une manière aufïi rigoureufe que nouvelle , en fai- 

 fant voir que les ordonnées négatives deviennent 

 pofitives , en tranfpofant feulement l'axe. De même 

 en transformant une équation algébrique , on peut 

 rendre toutes les racines réelles pofitives ; car foit 

 b la plus grande des racines négatives, & foit faitx 

 = l — A , A étant une quantité plus grande que b ou 

 égale à b ; alors les facteurs, au lieu d'être , par exem- 

 ple , x — a , x -f- b , feront ç — A — a , 1 — A -j- b , tou- 

 tes deux pofitives. Voy. encore fur cet article ce que 

 nous dirons plus bas , en parlant des équations appii- ; 

 quées à la Géométrie» 



