y\ Si on propofoit de trouver un nombre x> tel 

 •que ( .r + i ) 2 -f- 4 fût = o , on auroit x — — 1 -f 



V ~- 4, ôc x = «- 1 — V *- A\ valeurs imaginaires 

 qui indiquent que 1 énoncé de la queftion eft abfur- 

 de , & qu'il n'eïl pas pOfîlbie de la réfoudré. Mais , 

 dira-t-on , pourquoi deux racines imaginaires ? Une 

 feule fufHroit pour avertir de l'abiurdité. Je réponds 

 que les deux, imaginaires avertifïent que la queftion 

 eft afefurde non-feulement dans fon énoncé, mais 

 même dans tout autre qu'on lui fubftitueroit , c'eft- 

 à-dire en mettant x — 1 Ou 1 ~ x à la place de x + 1 . 



En effet 1 — x % + 4 — 0 , ovlX—i -|- 4 — o 5 donne 

 -x— 1 * — 4- & x = 1 -{- 4 ; racines imaginai*- 



res & de ligne contraire aux précédentes , parce que 

 l'énoncé de la queftion , quoique changé , demeure 

 impoffible. 



8°. Àinfi, quand une équation n'a que des racines 

 négatives ou fauffes , cela indique que le problème 

 eft impoffible dans le féns direct, mais non pas dans 

 un autre fens ; au lieu que quand elle n'a que des ra- 

 cines imaginaires , cela indique que le problème eft 

 impoffible dans quelque fens qu'on le préfente. Quand 

 les racines lont réelles & incommenfurables , cela 

 indique que le problème n'a point de folution numé- 

 rique exacte , mais qu'on peut trouver un nombre 

 qui approche âuffi près qu'on Voudra des conditions 

 propolees ; donc les racines négatives , imaginaires 

 & incommenfurables , délignent différentes efpeces 

 d'impoffibilité dans la folution , mais d'impofîibilité 

 plus ou moins entière , plus ou moins absolue* 



9°. Mais quand les racines imaginaires font mê- 

 lées avec des racines réelles, qu'eft-ce qu'indiquent 

 alors ces racines imaginaires? Par exemple, w" 5 *- 

 — o, a pour racine réelle u — b, & deux autres 

 racines imaginaires qui font celles de V équation uu-\- 

 b u -{- b b — o , comme on l'a vu au moi Cas irré- 

 ductible. Ces deux racines imaginaires, dira-t-on , 

 paroiffent ici bien inutiles. Je réponds que ces deux 

 imaginaires ne font point de trop ; elles indiquent 

 que s'il y avoit une quantité u , telle que u u + b u + 

 b b pût être égal à zéro , le cube de cette quantité u 

 feroit égal à £*. Voilà , ce me femble , tout ce qui 

 regarde les racines des équations fuffifamment éclair- 

 ci ; parlons à d'autres obfervations. 



Il y a quelques remarques à faire fur la manière dont 

 on réfoud ordinairement les équations du i d degré : 

 foit x x —p x= q, on en conclud tout de fuite x — 



j= ± ^ P *+î j mais, dira-t-on, pourquoi fait- on 

 x — F - pofitif égal à la quantité négative — V il 4. 



q ? il eft bien vrai que deux quarrés égaux donnent 

 des racines égales ; mais ce doit être des racines de 

 même figne : cela eft évident ; car de ce que 4 = 4, 

 en conclura- t-on que 2 = — 2 ? D'ailleurs p - — x eft 

 auffi-bien que x — 'Ma racine de x x — p x 4- p -£ ; on 



devroit donc avoir IjT x 4- p - m 4I ^ -f- q. Je ré- 

 ponds, i°. que cette dernière équation donne les qua- 

 tre fuivantes x = ^ v f + q,-^Z=z- ^U~^ 



l,i--x^-V / pf^Y,r--x = y / ^^orks 

 deux dernières font évidemment les mêmes que les 

 deux premières ; il fuffit donc de prendre le double 

 *îg ne i^ ans un des membres, & non dans les deux 

 à la fois. 2°. J'aimerois mieux réfoudre Y équation en 

 raifonnant de cette forte : La racine quarréede x x — 



px + L£ eft x - t, ûx > L ; UL-x, fî^| : 



dans le premier cas, on a x — \ sa dans 

 Tome F* 



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lé fécond, on a \ - x - V iz + q . ce £ oûî ces 



deux cas très-diftinôs & très-clairement énoncés de 

 cette manière, qu'on énonce tous les deux enfemble 

 implicitement, & fi je l'ofe dire , obfcurément, en 



écrivante ± )/p f + q. Les inventeurs de 



l'Algèbre ont imaginé cétte expreffibn pour abré- 

 ger ; & cette expreffion commode rend la métaphy- 

 lique plus obfcure. Voyt^ fur cela ce qui a été dit au 

 mot El é mens des Sciences. 



Si on avoit x x -\- p x=zq , alors on trouvëroit à 



en fuivant le raifonnement précédent , x + t — 

 z i 



~ + q, ce qui ne donneroit que la racine poftti- 



ve ; à l'égard de la racine négative ou faillie , on n'en 

 a que faire , puifqu'ellé ne réfout pas le problème ; 

 cependant on auroit cette racine, fi on vouloit, en 

 changeant l'énoncé de la queftion fuivant les règles 

 données ci-deffus ; ce qui donneroit x x — p x ss 4 



^-x^oux-^^^+J, 



On voit donc que par cette manière que je pro- 

 pofe de réfoudre les équations du fécond degré, on 

 fépareroit les racines politives néceffaires d'avec les 

 inutiles , les vraies d'avec les fauffes , &c. cette mé- 

 thode s'appliqueroit aux autres degrés , fi on avoit 

 une règle générale pour réfoudre toute équation i 

 mais la règle dont il s'agit eft encore à trouver. 



J'ai donné au mot Cas irréductible une théo- 

 rie fuffiiante & neuve prefque à tous égards de la 

 rélolution des équations du troilieme degré ; j'y ren- 

 voyé le lecleur. Je n'y ai fuppofé qu'une proportion, 

 c'eft que fi le fécond terme d'une équation du troilie- 

 me degré eft nul , & que les trois racines foient réel- 

 les , le troifieme terme a toujours le figne La que- 

 ftion fe réduit à prouver que fi a -\- b -j- c = o , a s 

 b , c , étant de tel figne qu'on voudra , & réelles t 

 (yoye{ Coefficient) , on aura a b -f a c -j- b c né- 

 gative , c'eft- à -dire ~aa — ac — cc négative, ce 

 qui eft évident ; donc fi le troifieme terme eft pofitif^ 

 il y a deux racines imaginaires. Nous rappellerons 

 ici ce qui a été remarqué dans X errata du troifieme 

 volume , qu'à V article Cas irréductible, Timpri* 

 meur a mis par-tout zy pour 27; cette faute d'im- 

 preffion ne peut embarraffer que les premiers corn- 

 mençans. Du refte on trouvera dans cet article, ou 

 explicitement , ou implicitement , toute la théorie 

 des équations du troifieme degré. Paflbns au quatriè- 

 me degré. 



Soit a; 4 -\-'q x^ + r x + s = ô , une équation à ré- 

 foudre , on fuppofe qu'elle foit le produit de x x + 

 yx+i=io, &Lxx — y x + u = o;&t on trouve > 

 en multipliant ces deux équations l'une par l'autre A 

 & comparant le produit terme à terme avec la pro^ 

 pofée , les équations fuivantes ; 



9 — 1 y + -y 3 ~ f 

 S 1 y 



g y + y3 - f. ^ 2 s y 



2 y ~~ Ty + y* + ^ 011 

 y 6 + iqy 4 + q r y x -rr = o, 

 -4sy* 



u= s -~ — s U 4- ZI 4. JL; 



{ i y + y> - r 2' 2 ' zy 



V 'équation y 6 , &c. == o, étant du fixieme degré a 

 fix racines ; & les équations x x -\-y x -\- 1 = o ,xx~ 

 y x + u = o, en donnant chacune deux pour cha- 

 que valeur de y ; voilà donc, dira-t-on, vingt-qua* 

 tre racines , quoique, fuivant la théorie connue, Yé± 

 quaùon x 4 , &c. ne doive avoir que quatre racines 

 poffibles. Je vais montrer que ces vingt-quatre ra- 

 cines fe réduifent à quatre. 



i°. Dans l'équation y* , &ç, =s o , où tous lès ter.- 



P P p p p ij 



V 



