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mes pairs manquent , il eft évident que chaque ra- 

 cine pofitive a fa pareille négative. Cela eft évi- 

 dent ; car faifant y y — { , Y équation eft du troifieme 

 degré. Voy. Abaissement. Or foient A, B, C, les 

 valeurs de on aura donc y y — A ; donc y == -h 

 y' A — \/ A: de même j = + i/-#>.y = "t V^* 

 Cela pofé. 



Soit a une des valeurs de y , — a en fera une au- 

 tre ; & Y équation x x -\- y x -\- ^ donnera 



V équation x x — y x -\- u , donnera 

 xx-ax + l + î± + ^=0 



xx+ax+ q - + ^ - r^ = 0 ' 



Ces deux dernières équations reviennent au mê- 

 me que les deux précédentes ; donc voilà déjà qua- 

 tre équations réduites à deux , & vingt-quatre à douze. 



Je dis maintenant que x x + ax-)- q - -f V - '"^? 

 donnera les mêmes racines que x # + b x -f | -f l — 

 .£ ^ , en fuppofant + — b deux autres racines de 

 V équation y b -f- zqy 4 , &c. = 0. Car foitjj — <za , 

 y y — bb,yy — ce, les trois racines, on aura i # 

 js^^rf— ££~-cc,r:=tf£ci&:les deux équations 



précédentes deviendront x x x — b -~ + ^ — ^ 



+ — = O, ÔCx x±_b x — — + — - — + T — 

 o , dont les racines font aifées à trouver, & font les 

 mêmes. On trouvera de même que x x + c x — ^ 

 ^ c _£_^^tf£ — o, donne encore les mêmes ra- 

 cines ; donc en général les douze racines fe réduifent 

 à quatre , & ces quatre feront 



— _i_ & - c 



a , c - é 

 — ï + — • 



+ ï + *r : 



Car il faut remarquer que le figne — de ~ répond 



à -f- a x , & que le figne + répond à — a x ; il ne 

 faut pas prendre a x avec -j- £ c , ni — a x avec 

 -bc. 



Si on fait quatre équations fimples des quatre va- 

 leurs précédentes de x, on formera par le produit 

 une équation du quatrième degré qui fera la même 

 que la propofée , en mettant pour q , s, r, leurs va- 



k„ aa—bb—cc q 2 acthb — aacc— b b c c o. » 

 urs -— , q - - , & a b c. 



Ainfi tout s'accorde parfaitement, comme on le 

 voit. Il y a quelques auteurs qui ont traité ce der- 

 nier article des équations du quatrième degré avec 

 affez de foin; mais, ce me femble, d'une manière 

 moins fimple que nous ne venons de faire. 



En réfolvant d'une certaine façon quelques équa- 

 tions du quatrième degré , on tomberoit dans un in- 

 convénient femblable à celui du cas irréductible , 

 c'eft-à-dire qu'on trouveroit des quantités réelles 

 fous une forme imaginaire. Soit, par exemple , x 4 - — 

 a 4 = o , on a deux racines réelles x = a , x = — a, 

 & deux autres imaginaires x =2 )/ — a a , x =2 — 



V ' — a a ; cependant fi on fuppofoit que Y équation 

 X* — a 4 zzz o , fût venue de ces deux-ci x x+px-\- 

 q , x x — - p x -f q , on trouveroit iq — pp — o,qq = 

 — a 4 : ainû on auroit pour les deux équations , dont 

 la multiplication produit x 4 — a 4 , ces deux-ci : 



EQU 



x x± x \/ + 2 \Z~a^ ±j/—a 4 =0; 



x x ZjT x y/+_2 \Z~~2 4 "t-V — a 4 = o' 9 



équations d'où l'on ne tirera que des valeurs de % 

 fous une forme imaginaire ; néanmoins de ces dif- 

 férentes valeurs une fera = a , & une autre == — <z» 

 Voye^ fur cela Y article, Imaginaire. Voye^auQi les 

 mémoires de l'acad. de Berlin , & Y ouvrage cité 



de M. de Bougainville. 



Il eft aifé de voir par tout ce qui a été dit , qu'il 

 n'y a jufqu'à préfent que les équations du fécond de- 

 gré dont on ait une folution complète ; car i°. les 

 équations An troiiieme degré tombent fouvent dans le 

 cas irréductible. i°. Si une équation du troifieme de- 

 gré a une racine réelle & commenfurable , cette ra- 

 cine commenfurable fe préfente fous une forme in- 

 commenfurable , & il faut du travail pour la dégager 

 de cette forme. Voy. Racine & Extraction. 3 0 . 

 Les équations du quatrième degré fe réduifent , com- 

 me on vient de le voir, au troifieme, & font par 

 conféquent fujettes aux mêmes inconvéniens. 



Lorsqu'une équation du troiiieme degré a une ra- 

 cine commenfurable , le plus court moyen de la dé- 

 terminer , eft d'eflayer tous les divifeurs du dernier 

 terme ; M. Newton , dans fon arithmétique univerfel/e, 

 a donné une méthode pour abréger confidérable- 

 ment cet effai. Nous ne dirons rien de cette métho- 

 de , qui a été fuffifamment expliquée & développée 

 par MM. Gravefande 6k: Clairaut, dans leurs élémens 

 d'Algèbre. 



PalTé le quatrième degré, on n'a plus de méthode, 

 même imparfaite & tronquée , pour réfoudre les 

 équations. Si la racine eft réelle , il faut effayer les 

 divifeurs du dernier terme; fi elle eft incommenfu- 

 rable, il faut tâcher de connoître à- peu-près cette 

 racine en nombres entiers , & fe fervir eniuite de la 

 méthode expliquée au mot Approximation, pour 

 approcher de plus en plus de la vraie valeur. La dif- 

 ficulté eft d'avoir d'abord la racine cherchée expri- 

 mée à-peu-près en nombres entiers ou rompus ; oji 

 n'a point de méthode générale pour cela ; on n'a que 

 des tentatives & des eflais ; la méthode des calcades 

 expliquée à Yarticle Cascade, eft très-limitée, & 

 par conféquent très-fautive. Cette méthode fuppofe, 

 i°. que la propofée ait toutes fes racines réelles ; 2 0 . 

 que Y équation du maximum des y ait aufîl toutes fes 

 racines réelles; 3 0 . que l'on puifle connoître toutes 

 les racines de cette dernière équation du maximum 9 

 ou du moins qu'on les puifle connoître à-peu-près, 

 ce qui revient à la même difficulté. 



Si on trouve deux quantités a, b, peu différentes 

 l'une de l'autre , qui étant fubftituées à la place de x 

 dans une équation, donnent l'une un réfultat pofitif, 

 l'autre un réfultat négatif, il s'enfuit que la valeur 

 qui donne le réfultat = 0, & qui eft la vraie racine 

 de Y équation , fera entre a & b. En effet confirmions 

 une courbe de genre parabolique , nous verrons 

 clairement que fi une valeur de x donne l'ordonnée 

 pofitive , & qu'une autre valeur de x donne l'ordon- 

 née négative , la valeur de x qui donnera l'ordonnée 



— o , fera entre ces deux - là : mais il n'en faut pas 

 conclure , que fi on diminue , ou qu'on augmente 

 tant foit peu cette valeur de*, qui donne le réfultat 



— o, on aura deux réfultats de figne différent; car il 

 eft évident qu'une courbe parabolique peut attein- 

 dre fon axe fans le couper , mais en le touchant feu- 

 lement ; & en général pour qu'une quantité paffe par 

 le zéro , il n'eft point nécefîaire que les deux états 

 voifins de cette quantité , l'un avant , l'autre après 

 l'égalité à zéro , foient des états oppofés. Cela eft 

 clair par les tangentes parallèles au diamètre du cer- 

 cle, où l'ordonnée pofitive devient zéro, & rede- 

 vient eniuite pofitive s & par une infinité d'autres cas 

 femblables. 



