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Î3 ans les mémoires de l'académie des Sciences pour 

 tannée 1747 > pag e ■> on trouve un favant mé- 

 moire de M. Fontaine fur la réfolution des équations. 

 L'auteur annonce qu'il donne ce mémoire pour l'a- 

 naLyfe en entier , telle qu'on la cherche , dit-il ,Ji inuti- 

 lement depuis l'origine de l'Algèbre. Il fe propofe en 

 effet de donner dans cet ouvrage des règles pour dé- 

 terminer, dans une équation quelconque propofée, 

 i°. la nature & le nombre des racines , c'eft-à-dire fi 

 elles font réelles , égales ou inégales , toutes pofiti- 

 ves , toutes négatives , ou en partie pofitives & né- 

 gatives, ou enfin imaginaires en tout ou en partie. 

 L'auteur fuppofe dans cet ouvrage la vérité d'un 

 théorème que j'ai démontré le premier , & dont il a 

 déjà été fait mention plus haut : favoir que toute ra- 

 cine imaginaire d'une équation peut toujours être ex- 

 primée par a -f- h \/— i , a & b étant deux quantités 

 réelles , & qu'il y a en ce cas encore une autre ra- 

 cine exprimée par a — b\/ — i . Nous n'entrerons 

 point ici dans le détail de la méthode donnée par 

 M. Fontaine ; elle eft fi bien expliquée dans le mé- 

 moire cité , & préfentée avec tant de précifion , que 

 nous ne pourrions absolument que la tranfcrire ici ; 

 nous y renvoyons donc le ledeur. Nous ferons feu- 

 lement les remarques fuivantes,dans lefquelles nous 

 fuppoferons qu'il ait le mémoire fous les yeux. 



i°. La quantité ou fondion formée des coefficiens 

 m, n, p , &c (qui efl égale à zéro dans certains cas, 

 plus grande que zéro dans d'autres , & plus petite 

 dans d'autres) fe trouve , en faifant égales enîr'elles, 

 quelques quantités parmi les racines de l'équation; 

 car il y a toujours autant de quantités a, c,d, &c. 

 dans les racines de Y équation qu'il y a de coefficiens 

 m , n , p , q, &c. on a donc autant d'équations entre 

 cl, b, c , d, &c. & m, n,p , q , &c. qu'il y a de co- 

 efficiens m, n,p, q ; & on ne peut arriver â une 

 quantité ou équation finale, de laquelle a, b 9 c ,d, 

 ÔCc. ayent difparu, que dans le cas où quelques-unes 

 des quantités a , c>d 3 &c. feront égales; autre- 

 ment, après toutes les opérations ordinaires defti- 

 nées à faire évanouir les inconnues a, b,c ,d , (yoy. 

 Evanouir) &c. il en refteroit toujours une, puif- 

 qu'il y auroit autant d'équations que d'inconnues. 

 Prenons, par exemple, un des cas que M. Fontaine 

 a propofés , x % — 3 x-f i = ou. x x — m x -\- n — 

 c;on trou ve que (x — a)(x—F) ou ( x— a -f- b \/~ 1 ) 

 { x — a — b \/ — 1) ou (x — b -\- a \/ — 1) (x — £ — a 

 $/— 1) peuvent être les trois fyftèmes de fadeurs de 

 cette formule. Or pour que les deux premiers fyftè- 

 mes de fadeurs deviennent le* mêmes, il faut que 

 dans le premier fyftème b=za,$c que dans le fécond 

 b — 0; d'où l'on tire xx— iax-\-aa — xx — m x -\- 



n ; donc ffz = 2 a , n — a a = ^ ; donc dans le cas 

 de az=.b 9 on. a. m m — 4. n — o. Maintenant pour que 

 le fécond & le troifieme fyftème de fadeurs devien- 

 nent le même , il faut que b — a dans les deux fyftè- 

 mes; ainfi on aura x x — zax-\-aa-^-aa — oj donc 



1mm -i 



m — za,n— zaa — — — ; donc m m — 2 n — o ; 



ainfi m m — 4 n &t m m— zn font les deux quantités 

 égales , plus grandes ou plus petites que zéro , qui 

 doivent déterminer ici les racines égales ou les raci- 

 nes réelles, ou les racines imaginaires, & de plus le 

 ligne & la forme des racines. 



2 0 . On voit afTez par la nature de la méthode de 

 M. Fontaine, qu'un fyflème de fadeurs étant donné 

 dans le fécond, ou même dans le troifieme degré , 

 on trouvera la nature de la formule d'équation qui 

 en réfulte, c'eft-à-dire le figne de chaque coefficient 

 de cette formule ; mais on ne voit pas, ce me fem- 

 ble , avec la même clarté comment on déterminera 

 la formule qui réfulte d'un fyftème de fadeurs , dans 

 les équations plus compofées que le troifieme degré ; 



ni s'il fera toujours poffible d'aiîigner exactement 

 toutes les formules qui réfultent d'un même fyftème 

 de fadeurs , en cas que ce fyftème puifte produire 

 piufieurs formules. Il feroit à fouhaiter que ceux qui, 

 travailleront dans la fuite d'après la méthode de M. 

 Fontaine , s'appliquaffent à développer ce dernier 

 objet. 



3 0 . M. Fontaine fuppofe que la quantité qui eft = 

 o dans le cas de la coïncidence de deux fyftèmcs de 

 fadeurs , eft néceflairement plus grande que zéro 

 pour l'un de ces fyftèmcs de fadeurs , & plus petite 

 pour l'autre. Il eft vrai qu'il arrive le plus fouvent 

 qu'une quantité égale a zéro dans Fhypothèfe d@ 

 deux quantités qui coïncident, eft pofitive & néga- 

 tive dans les deux cas immédiatement voifïns ; mais 

 cela n'arrive pas toujours. Par exemple, lorfqu'uné 

 courbe de genre parabolique touche ion axe, & que 

 par conféquent l'abfcifte x répondante à l'ordonnée 

 y '== o y a deux racines égales , il arrive fouvent qu'en 

 faifani x plus grande ou plus petite qu'une de ces ra- 

 cines , on aj pofitive dans les deux cas. Ce n'eftpas 

 tout. Il pourroit arriver que dans les cas infiniment 

 voifïns , ou extrêmement voifïns de celui qui a don- 

 né l'égalité à zéro, la quantité formée de m , n^p* 

 q, &c. fût plus grande que zéro pour un de ces cas, 

 & plus petite pour l'autre ; mais eft-il bien certain 

 que dans les cas qui ne feront pas fort voifïns de ce- 

 lui qui a donné l'égalité à zéro, il y en aura tou- 

 jours un qui donnera la fondion > o ,.& que l'autre 

 donnera la même fondion < o ? Une courbe qui 

 coupe fon axe en un point, a près de ce point en- 

 deftus & en-deffous des ordonnées de dirFérens fi> 

 gnes; mais il eft très-poiïïble que toutes les ordon- 

 nées a 11- d eft us & au-deiTous ne foient pas néceftaire- 

 ment de difFérens fignes, -parce que la courbe peut 

 encore couper fon axe ailleurs. M. Fontaine dit que 

 s'il y a piufieurs fondions = o , il fera toujours facile 

 de reconnoître laquelle de ces fondions eft toujours 

 plus grande que zéro dans l'un des deux fyftème s , &c 

 toujours moindre dans l'autre ; il femble que , fuivant 

 fon principe , dès qu'une fondion eft égale à zéro 

 dans le cas de la coïncidence de deax îyftemes de 

 fadeurs, elle eft toujours plus grande que zéro dans 

 un de ces fyftèmes , & moindre dans l'autre. S'il y a 

 des cas où cela puifte n'avoir pas lieu (comme Mi 

 Fontaine femble i'infinuer), pourquoi, dira-t-on , 

 n'arriveroit-il pas quelquefois que cela n'auroit lieu 

 dans aucun cas ? 



Enfin M. Fontaine détermine par le calcul d'un 

 feul cas numérique particulier d'un des deux fyftè- 

 mes , celui où la fonction eft > 0 , &C celui où la fon- 

 dion eft plus petite. Cela peut être encore fujet à difr 

 fïculté ; car cela fuppofe que la formule eft toujours 

 > o dans un des cas, & toujours < o dans l'autre. Or, 

 dira-t-on , ne pourroit il pas arriver que la formule 

 fût à la vérité toujours > ou < o, dans les deux cas 

 pris enfemble ; mais qu'après avoir été plus grande 

 que zéro dans l'un de ces cas, jufqu'à une certaine 

 valeur des quantités a, c , d 9 &c. & plus petite 

 dans l'autre cas, elle devînt enfuite plus petite que 

 zéro dans le premier cas, & plus grande dans le fé- 

 cond ? 



Nous ne prétendons point par ces difficultés atta- 

 quer, ni encore moins renverfer la méthode de Mi 

 Fontaine ; elle nous paroît pleine de fag-icité & de fi- 

 nefle , & digne de toute l'attention des fa vans ; nous 

 la regardons comme une nouvelle preuve du génie 

 fupérieur que l'auteur a déjà montré dans d'autres 

 ouvrages (yoyei Intégral & Tautochrone); 

 nous defirons feulement que M. Fontaine trouve ces 

 difficultés a fiez capables d'arrêter les géomètres, 

 pour daigner les lever entièrement dans un autre 

 écrit , & mettre fa méthode à l'abri même de toute 

 chicane. Afin de l'y engager, voici à quoi nous ré- 



