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duifons la queftion. La formule eft == o dans le cas 

 de légalité de certaines racines ; foit cette formule 

 appellée P. Suppofons maintenant les racines inéga- 

 les , en forte que 1 1 foit leur différence ( c'eft-à-dire 

 que + t doive être ajouté à l'une, & - t à l'autre), 

 en ce cas la formule deviendra P-\-Rt-\-Stt-±- 

 Q O , &c. R, S, Q, défignant des quantités con- 

 nues : or, pour que la méthode de M. Fontaine ait 

 lieu dans tous les cas , il faut, i°. que R ne fort ja- 

 mais = o, ou du moins que fi R = o , S le foit aufli , 

 en un mot que t fe trouve toujours à une puiffance 

 impaire dans le premier des coefficiens ; autrement t 

 étant fuppofé très-petit , les deux formules feroient 

 l'une & l'autre > ou < o , t étant pofitif ou négatif: 

 2°. qu'en fuppofant t pofitif, R t + S tt + Ç> * * , &c. 

 foit toujours du même figne , t ayant telle valeur 

 qu'on voudra : 3 0 . qu'en fuppofant t négatif, R t + 

 Stt + Qt^&ic. foit toujours de figne contraire au 

 précédent , t ayant telle valeur qu'on voudra. Ces 

 trois propofitions démontrées , il ne reftera plus de 

 doute fur la généralité & la certitude de la méthode 

 propofée par M. Fontaine. 



Ii feroit encore à fouhaiter que l'auteur donnât 

 une démonftrationde la méthode qu'il propofe, pour 

 approcher, aufli près qu'on veut, des racines des 

 équations ; il femble fuppofer encore dans l'expofé 

 de cette méthode, que quand une certaine valeur de 

 ç> rend = 0 une quantité ou fonction de <p , deux au- 

 tres valeurs de ? , l'une plus grande , l'autre phw pe- 

 tite , donneront l'une moins ou plus que zéro , l'au- 

 tre plus ou moins que zéro. Cela n'eft pas vrai en 

 général , mais cela pourroit l'être dans le cas parti- 

 culier de M. Fontaine ; & c'eft ce qu'il feroit bon de 

 prouver. Voye^ l'article RACINE. 



Il nous refte à faire quelques réflexions fur les 

 équations appliquées à la Géométrie. Nous avons in- 

 diqué au mot Découverte , par quel raifonnement 

 Defcartes eft parvenu à appliquer les équations indé- 

 terminées aux courbes; les mots Courbe, Diffé- 

 rentiel , Tangente , &c Se autres femblables, 

 font voir en détail les applications & les confëquen- 

 ces de ce principe. On a vu aufli au mot Construc- 

 tion , comment on confirait les équations par la 

 Géométrie. Il ne nous refte ici qu'un mot à dire fur 

 la multiplicité des racines des équations en Géomé- 

 trie. Les obfervations que nous avons à faire fur ce 

 fujet, font une fuite de celles que nous avons déjà 

 faites fur les racines multiples des équations algébri- 

 ques. 



Suppofons , par exemple , qu'on propofe de divi- 

 fer une ligne a en moyenne Se extrême raifon, nom- 

 mant x la partie cherchée de cette ligne , on aura a. : 

 x::x: a—*; d'où l'on ùxexx-\-a x=za a, Scx = 



— t VJ^jL . i a rac ine négative de cette éqita- 



don ne fauroit fervir ici , mais elle ferviroit à la fo- 

 lution de ce problème , trouver dans le prolongemen t 

 de la ligne donnée a une ligne x , telle crue a : x : : 

 x : a + x; dans ce cas la racine négative devient 

 pofitive , Se la pofitive négative ; Se V équation eft * * 



— a x = a a. 



Si on propofe de tirer du point A une ligne A E 

 (fig. ,,. d'Algeb.) dans un cercle, telle que BO étant 

 perpendiculaire au diamètre AD, Se donnée de po- 

 fition , on ait FE — à une ligne donnée a , on aura 

 en nommant B F,x, une équation du quatrième de- 

 gré qui n'aura ni fécond , ni quatrième terme ; cette 

 équation aura deux racines pofitives B F & Bf, tel- 

 les que FE d'une part, & fe de l'autre, feront éga- 

 les à a; Se deux autres racines égales aux deux pré- 

 cédentes & de fignes contraires , parce qu'en ache- 

 vant le cercle, & prolongeant O B en-defîbus, le 

 problème aura deux folutions pareilles ; fi * étoit plus 

 grand que BD, les racines feroient imaginaires. 



Si on nommoit A F, x, B O , £, A C , r , AB 

 on auroit bb — x x c c = a x ou 2 r c — x x -f- a x ; 

 la racine pofitive eft A F, & la négative Af, parce 

 que cette racine négative , fi on la traitoit comme 

 pofitive, donneroit ax — Bf 7 - — B O' 2 - — x x — b b — 

 c c = x x — z r c , Se non pas a x =1 B O 2 — B F 21 . 

 Voilà un cas où deux racines de différens fignes n'in- 

 diquent pas des pofitions diamétralement oppofées 

 dans les lignes A F, Af, qui repréfentent ces raci- 

 nes , mais feulement le changement de figne du fé- 

 cond terme a x dans V équation du problème. 



Dans ce dernier cas , c'eft-à-dire en prenant A F 

 pour l'inconnue, V équation n'efl que du fécond de- 

 gré , au lieu qu'en prenant B F pour inconnue , elle 

 monte au quatrième ; d'où l'on voit comment par le 

 bon choix des inconnues on peut fimplifîer un pro- 

 blème en plufieurs occafions. Mais , dira-t-on , pour- 

 quoi le problème a-t-il quatre folutions dans un cas, 

 & deux feulement dans un autre ? Je réponds que 

 dans le dernier cas il a aufli quatre folutions comme 

 dans le premier; ou pour parler plus exactement, 

 que BF a quatre valeurs dans les deux cas ; car BF=z 



+ y/ A F 2 - — A B % , ce qui donne deux valeurs éga- 

 les de différent figne pour chaque valeur de A F. 

 Voyez encore d'autres obfervations fur un problème de 

 ce genre à V article Situation. 



Autre queftion. On propofe d'inferire dans un re- 

 ctangle donné AB D E (fig. 11. alg. n, 2. ) un rec- 

 tangle a b de, dont les côtés foient également éloi- 

 gnés des côtés du grand , Se qui foit à ce grand rec- 

 tangle comme m eft à n : foit A B =2 a, A D = b, 

 AC — x,ou aura (a — xx) X Q> — 2 x) : a b : : m: 

 n, Se on trouvera par la réfolution de cette équa- 

 tion , qu'en fuppofant m < n , x a deux valeurs réel- 

 les Se pofitives ; cependant le problème n'a évidem- 

 ment qu'une folution , mais il renferme une condi- 

 tion que l'Algèbre ne peut pas énoncer , favoir que 

 le rectangle a b de foit au -dedans de l'autre : fi on 

 avoit a b : ( 2 x — a) (2 x — b) : : n : m , on trouve- 

 roit la même équation , Se cependant ce ne feroit plus 

 le même problème. Le parallélogramme reclangle 

 qui fatisferoit à cette queftion, feroit alors celui 

 qu'on voit ,fig. n.n.3. dans lequel A C eft égal à la 

 plus grande valeur pofitive de x, &c AC — Ca; le 

 côté a d eft éloigné de A D comme le côté c a de 

 AB, & ainfi du refte ; mais le rectangle a b c d n'efl 

 pas au-dedans de l'autre ; condition que l'Algèbre 

 ne peut exprimer. Voye^ Situation. 



Sur les équations différentielles , exponentielles , &C 

 voy. Différentiel, Exposant, Exponentiel, 

 Intégral, Construction, &c 



On appelle quelquefois équation , en Géométrie & 

 en Méchanique , ce qui n'eft qu'une fimple proportion- 

 nalité indiquée d'une manière abrégée ; par exem- 

 ple, quand on dit qu'un rectangle eft égal au produit 

 de fa bafe par fa hauteur , cela fignifie explicite- 

 ment : fi on a deux reftangles, & qu'on prenne une 

 quantité quelconque linéaire a pour la mefure com- 

 mune de leur bafe Se de leur hauteur ; que B foit' le 

 nombre de fois (entier ou rompu, rationnel ou irra- 

 tionnel) que la bafe de l'un contient a; que H foit 

 le nombre de fois que la hauteur du même contient a; 

 que b foit le nombre de fois que la bafe de l'autre 

 contient a ; que h foit le nombre de fois que la hau- 

 teur du même contient a, les aires de ces deux rec- 

 tangles feront entr'elles comme le produit des nom- 

 bres B H, eft au produit des nombres b , h. De 

 même , quand on dit que la vîtefle d'un corps qui fe 

 meut uniformément , eft égale à l'efpace divifé par 

 le tems, cela veut dire explicitement : fi deux corps 

 fe meuvent uniformément, Se parcourent , l'un l'ef- 

 pace E pendant le tems T, l'autre l'efpace e pendant 

 le tems t; qu'on prenne une ligne a pour commune 



