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La condition est nécessaire. Kn effet, élanl donnée une carte 

 coloriée en quatre couleurs au plus marquons respectivement les 

 régions de même leinle au moyen des combinaisons de lettres: 

 AC, AD, BG, 151) (laissant de roté BG ou 151) et BG, s^il y a moins 



de hi réciproque du théorème'de kempe, à , et te division corres- 

 pond mi réseau àcarrel'ours pairs. Si l'on l'ail au contraire abstra<- 



ou B. A cette division correspond un nouveau réseau à carrefours 

 pairs. Kn superposant ces deux réseaux à carrefours pairs on 

 retrouvera le réseau donné ; car toute ligne du réseau donné sépare 

 des régions qui diffèrent ou par une des lettres G et 0, ou par une 

 des lettres A et B, et appartiennent dès lors à l'un ou l'autre des 

 réseaux composants. 



Pour colorier une carte en quatre couleurs, il suffit donc que la 



couleurs suffiront an coloriai^ 1 . <'n démontre facilement que cette 

 condition est aussi nécessaire. 



[/existence d'un système de réseaux conjugués à carrefours pair* 

 a pour conséquence un théorème qui généralise le théorème de 

 Tait. Moulions d'abord que du théorème de Tait on déduit l'exis- 

 tence des réseaux conjugués. D'après ce théorème, on peut mar- 

 quer de trois lettres p, q, r, les traits d'un réseau dont tous les 

 carrefours sont triples, de façon qu'à chaque carrefour aboutisse 

 un chemin de chaque nom. Or, si en partant d'un carrefour quel- 

 conque on décrit un trajet en suivant exclusivement les chemins 



