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E V A 



1°. X étant évanouie des équations ^ x + ^ a- 4- 

 c=.Oj^f X X ■\- g X -^-h = o , il vien t ah—bg — icf 

 Xah-J^bh- c~^Xbf-{- agg-\-cffxc — o. 



2°. La même inconnue x étant évanoiiie des équa- 

 tions <z a-'' 4" b X X € X d—Q^ 6cfxx-\-gx-}-h=. 



o, on en ÛTQak — bg — xcfxakh-\-b h — cg—xdf 

 Xfk + ch-dgxa gg + cff + 3^gà + bgg+ 

 dffxdf=o. _ 



3°. Les équations a x* -\- ê> x^ -\'Cxx-{-dx-\~ 

 * ï= o , & /x x-jr gx -\-h=.Oy dont on fera évanoiiir 

 X, donneront a h ~ b g— % cf xah"^ -\- bk — cg—zdf 

 fhh^ ag g~\- cff xc lih — d g h ^ eg g - 

 ^ g +3 ^ g fi + bgg- dffxdf h-\- xakh-{- 

 3 b gh-dfg-\-cfJ Xeff--bg^xahXefg§:=^ 



Par exemple , pour faire évanoiiir ^, ou pour la 

 chafferdes équations ^t: a; '!^x — -^yy=:o,è>(.\xx — 

 ■xxy-^^z=.o^on fubftituera refpedivement dans 

 la première règle , pour les quantités a,b,Cf&cf, 

 g, k, les quantités 1,5, — 3:yj^3> — 2-^^ +4>en 

 obfervant très-exaûement de mettre, comme il con- 

 vient, les fignes -f & — ; ce qui donnera 4 -f- ïoy -f- 



iSyyX4 + 20 — 6 j'î X 15 + 47^ -^^7 y y X — 

 3yy = o, 01116 + 40 y ^'/ly y -\r}QQ — 90 y"^ -\- 

 6c)y^ = o. 



De même , pour chaffery des équations jk' — ^yy 



— 3 .r = o , &Cy y ~\- x y — x x-\- 3 =0, on n'a qu'à 

 fubftituer dans la féconde règle , pour les quantités 

 ÉT, by c, d, f, g, h, les quantités fuivantes i, 



— X, o,—jx; ï , Xf — X -^"^ ; vient ^—xx-{- 

 X X X ^ — 6xx-\-x'^ — -^x-\-x'^-\-6xX—^x4- 



-\-'^xxXxx-{-9^~'3^^ — — 3-^X — 

 ■^x=zo; effaçant enfuite ce qui fe défl"uit , èc mul- 

 tipliant, on a 27 — 18 XX 4- 3 a:*, — ^xx-^x^ , -f 

 3 x4 j — 18 .r^ , 4- 12 x^= o. Enfin ordonnant les 

 termes, l'équation devient x^ x^ --4^ xx -{- 

 27 =; G. 



Ces règles , qui fe trouvent dans V arithmétique uni- 

 verfellede M. Newton, peuvent être appliquées & por- 

 tées à des degrés quelconques ; mais alors le calcul 

 devient très-pénible, quoiqu'il y ait eu quelques per- 

 fonnes qui fe foient donné la peine de chercher une 

 règle générale, pour chafTer d'une équation des quan- 

 tités inconnues élevées à des degrés quelconques. 

 Mais l'application de la règle générale aux cas par- 

 ticuliers ell fouvent beaucoup plus embarrafTante , 

 qu'il ne le ferait de faire évanoiiir les inconnues par 

 la méthode ordinaire. 



M. Newton n'a point démontré comment il a dé- 

 couvert ces régies , parce qu'elles font une confé- 

 quence très-fimpie de ce qui a été dit ; par exemple, 



on a dans le premier casxx^-^-^ '\-'^-=:Q-f^xx-\- 

 ^ + ^ = o j par conféquent ^ + ^ = ^ -}- 



d'oh l'on tire x = rr—^ ; & fi l'on met cette valeur 

 4e X dans l'équation ax x b x •\- c=o,on troii- 

 vera == -|- ' -fc= o ; & après 



■bf-agXbf-ag ^ bf-ag ' ' ^ 



avoir délivré cette équation de fraûions , & l'avoir 

 réduite à fes plu s fimples termes , elle deviendra 

 a k-bg-x cfx ak4. bh — cg X ^ f + ^gg+cff 

 X c = o. Les deux autres règles fe découvriront de 

 la même manière; mais le travail croîtra àpropor- 

 tion des degrés des inconnues. 



A ces méthodes , pour faire évanoiiir les incon- 

 nues, nous ajoiiterons les obfervations fuivantes. 



Si l'on a , par exemple ^ y'i = x y y 4- ab x^ 

 y^ :;=^qxx \-fxy 4- c'eft-à-djre deux équations 



^ V A . 



oiiy monte au même degré ; on aura d'abord y -f- 

 ab X— q X X + fx j -f. ; équation ouy ne monte 

 plus qu'au fécond degré , & d'où l'on tire y y = 



qxx +fxy+ çy ~ ab X 



yqxx+fxy^ + c y'i - ab x y 



— qxx -i-fxy -f = xyy -^abxj on aura donc 



les deiax équations , 



xyy-^-abxzz q xx4- f xy + c^ , 

 xyy4-abx=z y^**->-f''y'- + <=y^ -ahxy 



qui ne montent plus qu'au fécond degré , & qu'on 

 abailTera à un degré plus bas , par la méthode em- 

 ployée ci-defTus pour abaiffer les deux équations ^ 

 données du troifieme degré à deux autres du fécond. 

 Cet exemple bien entendu & bien médité fufErapour 

 enfeigner à réfoudre tous les autres; car en général 

 ayant deux équations enj du degré ou qu'on peut 

 mettre toutes deux au degré m^ixon veut faire éva- 

 noiiir y ^ on tirera d'abord de la comparaifon des 

 deux équations données une équation du degré m — 



I, d'où l'on tirera une valeur de y'^~''en y'"~'';& 

 cette valeur de j'"'"' étant fubflituée dans l'une des 

 deux équations primitives , on aura une nouvelle 

 équation eny"*" ^ Ainfx, au lieu des deux équations 



primitives en^*" , on en aura deux en fur lef- 



queiles on opérera de même , & ainfi de fuite. 



Lorfqu'on fera arrivé à deux équations où y ne 

 fera plus qu'au fécond degré , on peut , par la mé- 

 thode précédente , abaiffer encore ces équations à 

 deux du premier, & alors le problème n'aura aucu- 

 ne difficulté ; ou bien on peut réfoudre ces équations 

 du fécond degré par la méthode ordinaire {voye^ 

 Equation), comparer enfuite les valeurs dey qui 

 en réfulteront, ôter enfin les radicaux du fécond do- 

 gré par la méthode expliquée plus haut; & il n'y au- 

 ra plus qu'une inconnue fans radicaux. 



On peut encore s'y prendre de la manière fuivan- 

 te, pour faire en général évanoiiir y de deux équa- 

 tions quelconques ; on remarquera que les deux équa- 

 tions doivent avoir un divifeur commun ; on fuppo- 

 fera donc qu'elles en ayent un ; on divifera la plus 

 haute équation par la féconde , la féconde par le ref- 

 te , le premier refle par le fécond , &c. fuivant les' 

 règles connues pour trouver le plus grand divifeur 

 commun de deux quantités (voye^DiviSEUR) , juf- 

 qu'à ce qu'on arrive à un refle qui ne contienne plus 

 dey; on fera, ce refle = 0, & on aura l'équation 

 cherchée où il n'y aura plus qu'une inconnue. Ce 

 refle fuppofé égal à zéro , donnera pour divifeur com- 

 mun aux deux équations l'équation linéaire ou du 

 premier degré en y, qui dans ce cas aura été le di- 

 vifeur de la dernière opération. 



Quand il y a plus de deux inconnues , par exem- 

 ple , a;, i, &c. on réduit d'abord les inconnues à 

 une de moins ; on fait évanoiiir x ouy, &c. en trai- 

 tant { & les autres comme une confiante; enfuite on 

 réduit les inconnues reliantes à une de moins, &c ainfi 

 du refle. Cela n'a aucune difficulté. 



Dès qu'on fait réduire toutes les inconnues à une 

 feule , il n'y a plus de difficulté pour faire évanoiiir 



les radicaux quelconques , par exemple, foit )/ x 

 3 ; 



y/y -^a .z= a, &c X \/y -j- ^ = on fera )/ x==^f 

 3 . y . . 



ou X =z , ]/y -^-azzzt^ ouy -f- ^ = ^ ' j V'y ^ =3 



q , ou j + ^ = ^ S & ^ura les équations fuivan- 

 tes : a; = ,j -f- — r î , y -}- ^ =^ S { -f z ^z, x -{- 

 q = c y defquelles on fera évanoiiir f > { , ^ , ce qui 

 les réduira à des équations fans radicaux, où il n'y 

 aura plus que x S>c y. Foye^ RADICAL^ Racine , 

 Extraction, &c. 

 Au refle il y a bien, des ças oîi l'on peut;parde 



fimples 



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