E X P . 



farce que ni la fomme , ni la différence de deux piiif- 

 fknces de la même racine , ne peuvent fe rappelier à 

 un expofam commun , & qu'elles n'ont point d'ex- 



Jprefîion plus limple que celle-ci ^ , Mais el- 



les ont d'ailleurs quelques propriétés particulières , 

 que je ne fâche pas avoir jufqu'ici été remarquées , 

 quoiqu'elles puiffent trouver leur application. Elles 

 île feront point déplacées en cet article. 



Première propriété. La différence de deux puiffan- 

 ces quelconques de la même racine , efl toujours un 

 multiple exad de cette racine diminuée de l'unité , 



•c'eil-à-dire que ~ ^ donne toujours un quotient 

 ^xa£l. 



4'» -4^ 



^J^-± = ^ = 20 



3 3 3 



4^ - 4° é4 - I 63 _ 



3 3 J ~ 



fans reffe. 



Obfervez en pa ffant que dans le premier exemple 



'4^ — 4^^ = 6t» = 3 X 4X 5. Ce qui n'efl: point un ha- 

 sard , mais une propriété confiante de la différence 

 des troijiemc & première puiffances , laquelle eff tou- 

 jours égale au produit continu des trois termes con- 

 fécutifs de la progreffion naturelle , dont le moyen 

 eft la première puiffance même ©u la racine. 



— a z=. a — IX a X a-^ I, 



Seconde propriété. La différence de deux puiffances 

 •quelconques de la même racine eft un multiple exaâ 

 de cette racine augmentée de l'unité , quand la diffé- 

 rence des expofàns des deux puiffances eft un nom- 

 bre pair ; c'eff-à-dire que donne un quotient 

 exaât, quand w — n exprime un nombre pair. 



_ 41 64 4 60 r n ^ 



— = ~— = y = IX, fans rejtè, parce qUê 

 3 — • I = £ , nombre pair. 



Mais == = laiffe un rejîe , p^rcQ qat 



3 0 = 3 n'efl pas un nombre /^z/r, 



Troijîeme propriété. La fomme de deux puiffances 

 quelconques de la même racine eff un multiple exaâ: 

 de cette racine augmmtée de l'unité , quand la diffé- 

 rence des expofans des deux puiffances eft un nom- 

 bre impair ; c'eft-à-dire que donne un quo- 

 tient exaâ:, quand m—n exprime un nombre impair. 



4^+4° _ 64+1 _ g ^ _ 



— -y — — — p — i3»>^-y rejte , parce que 



3 — 0=3, nombre impair. 



. 43 +41 64+ 4 68 , ./r- 



Mais — ^ — = — — = Ylaii/eunreJIe,^2ircequQ 

 ^ — i z^z neji pas un nombre impair» 



Dém.onJlration commune. 



Si l'on compare a'* + a" , confidéré d'une part 

 comme dividende avec a±i, confidéré de l'autre 



comme divifeur, il en réfuîîe quatre combinaifons 

 différentes; fa voir. 



* 



a + 1 



Maintenant , fi l'on vient à effeâuer fur chacune la 

 divifion indiquée , on trouvera ( & c'eft une fuite 

 des lois générales de la diviffon algébrique) 



1°. Que dans toutes les hypothèfes , les termes du 

 quotient (^fuppofé exaét) font par ordre les puiffan- 

 ces confécutives & décroiffantes de > depuis & y 

 compris fl'»-^ jufqu'à a" inclufivement ; d'où il fuit 

 que le nombre des termes du quotient exaci , ou, ce 

 qui eft la même chofe , Vexpofant du rang de fon der- 

 «uer terme eft 



Que dans les deux premières hypothèfes les 

 To ms VI ^ 



E X P 



§13 



termes du quotient ont tôus le figne -f-, &:€|ue danè 

 les deux dernières ils ont alternativement & dans le 

 même ordre les fignes — ; deforte que le figne 

 appartient à ceux dont Vexpofant Au rang eft impair^ 

 & le figne à ceux dont Véxpèfaht du rang eft pair, 

 . 3°- Q"e, pour rendre la divifion exaôe , le der- 

 mer terme du quotient doit avoir le figne - dans les 

 première & troifieme hypothèfes , ôc le figne -f dans 

 la féconde & dans la quatrième. 



La figure fuivante met fous les yeux le réfultat 

 des deux derniers articles. La ligne fupérieure re- 

 préfente l'ordre des fignes qui affeàent les divers 

 termes du quotient , relativement aux quatre diffé- 

 rentes hypothèfes ; Finférieure marque le figne que 

 doit avoir dans chacune le dernier terme du quo^ 

 tient, pour rendre la divifion exaâe* 



/. hypothlfe. Seconde. Troifieme, QuatrUme. 



-f. -f 6v. -f . +. -f . &c. 4-, -. 4.. -. Sfc. -Î-. -, 



- -f - 4. 



_ La feule infpeûion de la 6gure fait voir que la dî<. 

 vifion exaûe ne peut avoir lieii dans la première 

 hypothèfe , puifqu'elle exige le figne — au dernier 

 terme du quotient, & que tous y ont le figne 4- ; que 

 par une raifon contraire elle a toujours lieu dans la 

 féconde ; qu'elle l'a dans la troifieme , quand Vexpo- 

 fant du rang du dernier terme , où (^Juprà ^ m — n 

 eft pair ; & dans la quatrième, quand m — ne{t impair. 

 J'ai remarqué (& d'aûtres fans doute l'auront fait 

 ayant moi ) que la différence des troifieme & pre- 

 mière puiffances de la même racine eft égale au pro- 

 duit continu de trois termes confécutifs de la pro* 

 greffion naturelle , dont le moyen eft la première 

 puiffance même ou la racine , . , — r^ =7^1 x 

 X 7+1. 



Cette propriété au refte dérive d^une autre ulté- 

 rieure. Les expofans des deux puiffances étant quel- 

 conques, pourvu que leur différence foit 2 , on a gé- 

 néralement r'" - r - I X/-"Xr4-i;.. .&ladé- 

 monftration en eft aifée. Car dans le fécond mem- 

 bre le produit des extrêmes eft rr — i : or fi l'on mul- 

 tiplie le terme moyen r" par rr—i<^ ôn aura r" ^ * 

 ■= r'^jpuifque (parfuppofition) 



— r 



mais r 



m 



2. 



m'— n=i, d'où 



Ceci eft peu de chofe en foi : mais n'en pourroit- 

 On pas faire ufage , pour réfoudre avec facilité toute 

 équation d'un degré quelcojique , qui aura ou à qui- 

 on pourra donner cette forme x'" — ^c" a == o , de 

 forte que w - y foit = 2 , & dont une des racines 

 fera un nombre entier. 



En effet , cherchant tous les divifeurs ou faveurs 

 de , & pour plus dè commodité les difpôfant par 

 ordre deux à deux, de façon que chaque paire con- 

 tienne deux fadeurs correfpondans de a , comme on 

 voit ici ceux de 1 2 . . . j'^. ^. |. . . . on eft affûré qu'il 



iX*+i 



. Choifil- 



s'en trouvera une paire qui fera * 



fant donc dans la ligne inférieure (que je fuppofa 

 contenir les plus grands fadeurs ) ceux qui font des 

 puiffances du degré oubienil ne s'en trouvera qu'- 

 un , & dès-là fa même racine fera la valeur x ^ ou il 

 s'en trouvera plufieurs ; & alors lés comparant avec 

 leurs co-fadeurs, on fe déterminera pour celui doilt 

 le co - fadeur eft le produit de fa /z^'^"»* racine dimi- 

 nuée de l'unité par la même racine augmentée de 

 l'unité. Par exemple , 



Soit l'équation à réfoudre . . . x ^ ■- x^ — |ooo=;: o, 

 on trouve que les fadeurs de 3000 font par ordre 



I i 3 4 î 68ioï2 



3000* isoo* iooo* 750* 6oo' Çoo'3?s* 300* 250' 



iç ao 24 2ï îo 40. jb 



200' IÇO* I2Î* I20* lOO* 7î* D 



En çonfyltunU fi on le juge néceffaire, la tabl^ 



Rr 



