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je pofe 5 & retiens 2, ; puis je multiplie 



une fois les dixaines 2 par les unités 5 , 25; 



lor fque j e dis 5 X 2 foiît 1 2 , que j e pofe 2^ 



à gauche de mon 5-. ji ç 



: - ' ■■ 50 



, 625 



J'e multiplie une fecotide fois les disaines 2 par les 

 iinités 5^ lorfque je dis 2 X 5 font 10, je pofe o & 

 retiens 1. Enfin je multiplie les dixaines 2 par elles- 

 mêmes, ce qui me donrie le quarré de ces dixaines , 

 éfi dlfant , 2 X 2 font 4 , & i de retenue font 5 , que 

 je .ppfe à 2audi,e du ,0. J'ajoute ces fommes , & j'ai 

 fe produit 625 dont on propofe de tirer la racine 

 ^uarrée ; c'eft-à-dire qu'il s'agit de trouver le nombre 

 qui , multiplié par lui-mêrne , a formé le quarré 625. 

 Mais àvarit que de commencer cette opération , o^n 

 doit avoir la table ifii vante fous fes yeux , ou plutôt 

 dans fa mémoire. 



Èacims, 



Quarrés, 





- ' ' J 



I 



i 





4 



8 



3 



9 



27 



4 



16 



64 



5 



i5 



125 



6 



36 



216 



7 



49 



345 



8 



64 



9 



81 



729 



10 



100 



1000 



Cela pofféjje partage mon nombre 6-25 1 



total62 5 en deux tranches, comme l'on ■ — 



voit ci-à-côté. La première tranche à 

 gauche qui pourroiî avoir deux chiffres, 

 peut auffi n'en avoir qu'un ; mais toutes 

 les autres tranches à droite font néceifairement de 

 deux chiffres ; & pour le démontrer , prenons les 

 plus petits chiffres pofTibles , par exemple 100. Si on 

 multiplie 100 par 100 , on aura le vquarré i , 00 j 00 

 en trois tranches , dont la première à gauche n'a 

 qiu'un chiffre , tandis que les autres en ont deux. 

 Prenons à-préfent les plus grands chiffres pofTibles , 

 999. Si on les multiplie par eux-mêmes , on aura le 

 quarré 9.9 , 80, 01, qui fait trois tranches chacune 

 de deux chiffres , & non davantage. Au furplus les 

 différentes tranches, fuivant le fyftème de la progref- 

 fjon décuple , expriment les unités , dixaines , cen- 

 taines , &c. de la racine totale. 



Ces premières notions une fois établies , je dis : la 

 racine quarrée de 6 efl 2 pour 4 ; voilà déjà nos di- 

 xaines trouvées ; je les pofe en forme 

 de quotient à côté de 625 , comme l'on 6-25 | 25 

 voit dans l'exemple : puis je les quarre 

 en difant , iX 2 font 4 , & je tire ce quar- ^ ^ 

 ré 4 de la première tranche 6 , dilant , 4 

 ^ de 6 refle 2. ... 



Il faut obferver que ces deux dixaines dont j'ai 

 formé le quarré font 20 ; & qu'ainfi en difant 2 x 2 

 font 4 , 4de 6 refte 2, c'efl comme fi je difois 20 

 X 20 font 400, 400 de 600 reile 200. 



Je baiffe à-préfent le 2 de la féconde tranche 25 ; 

 ce qui fait avec mon premier 2 , réfidu de mon 6 , 

 22. Je m'attache enfuite à chercher le fécond chiffre 

 de la racine. totale ; & comme dans le produit de la 

 multiplication ci-deffus expofée , j'ai emploj'-é deux 

 fois les dixaines 2 , autrement une fois 4 dixaines 

 multipliées par les unités 5 , j'y dois trouver la même 

 fomrae ou quantité , én décompofant , pour Vextrac- 

 sion de la racine. 



Je prends donc deux fois les dixaines 2, ce qui 

 fait 4 dixaines : j'écris ce 4 fous le 2 de ma fieconde 

 tranche , & je dis : en 22 combien de fois 4 ? il y eH 

 5 & refte 2 , qui avec le 5 de la féconde tranche , 

 gue je n'ai point baifîé, pour éviter l'embarras, fait 



2f , c'efl-à-dire le quarré juile des unités 5 que je 

 cherchois , & que je viens de trouver pour fécond 

 chiffre de la racine totale 25 : je pofe donc 5 en for-^ 

 me de quotient à côté du 2 déjà trouvé auparavant. 



Je forme le quarré 25 de ces unités 5 ; puis je mul? 

 tiplie les mêmes unités 5 par le double 4 des dixai-? 

 nés 2 , & je tire ces deux produits de ma dernier^ 

 tranche &c du réfidu de la pre^niere, 

 c'efl-à~dire de 225, ci . 225 



en difant 5x5 font 25 , 25 de 25 refle o 000 

 & retiens 2 ; 5x4 font 20 & 2 de rete- 

 nus font 22, 22 de 22 refle o. 



Ces deux produits fe tirant exadement fans aucua 

 refle, je conclus que la racine quarrée de 625 efî; 

 tout jufte 25* Pour dernière preuve je multiplie 25 

 par 25 ; & retrouvant le produit 62; ,5 , je demeure 

 pleinement convaincu que mon opération efl exaâe. 



Mais voici une autre méthode que je préfère , à 

 plufieurs égards. On commence l'opération à l'ordi- 

 naire pour la première tranche ; la différence ne pa« 

 roît qu'à la féconde , elle efl la même dans tou- 

 tes les fuivantes. Au lieu donc de tirer deux fois nos 

 dixaines 2 , c'efl-à-dire 4 dixaines , & de dire , com- 

 me on fait communément , pour trouver le fécond 

 chiffre d'une racine, en 22 combien de fois 4 , il y 

 efl 5 ; ne prenons que la moitié 1 1 du nombre 22 j 

 ne prenons aufîi que la moitié de nos 4 dixaines , 

 c'efl-à-dire , ne tirons qu'une fois nos dixaines 2 de 

 notre moitié 11. Ecrivons 2 fous i r en 



cette forte, 11 



ôc difons , en 1 1 combien de fois 2 , il 2 

 s'y trouve 5 fois , comme 4 s'efl trou- 

 vé 5 fois en 22 , 2 étant à 1 1 comme 4 à 22. 



Je pofe donc 5 pour fécond chiffre de la racine to- 

 tale du quarré 625 ; mais comme ce 5 pourroit 

 quelquefois être trop fort, je le pofe féparément^ 

 comme chiffre que je dois éprouver : & alors , pour 

 vérifier s'il efl bon , & fans examiner fi je pourrai 

 tirer du dernier réfidu le quarré 25 des unités 5 , 

 quarré qui doit encore fe trouver en 615 , puifqu'il 

 y efl entré par la mukiplication ; je procède tout de 

 fuite à la preuve : pour cela je multiplie 25 par 2 5 ; 

 & trouvant au produit 6 2 5 j je m'affùre que la racine 

 quarrée de 625 efl tout jufle 25. 



Si la fomme à décompofer , ou dont on cherche 

 la racine , au lieu de 625 n'étoit, par exemple, que 

 620, pour lors le procédé donneroit encore 25 pour 

 racine totale ; mais venant à la preuve , Se multi- 

 pliant 25 par 25 , on auroit le produit 625 plus fort 

 que 620 : on verroit par4à que le chiffre à éprou- 

 ver 5, qu'on auroit mis pour fécond chiffre de la ra- 

 cine totale, feroit un peu trop fort.Onmetîroitdone 

 4 , & l'on en feroit l'épreuve en multipliant 24 par 

 24 ; on tirerolt le quarré 576 de 620, 



en cette forte , » • 620 



& l'on verroit pour lors avec certitude 5 76 

 que la racine quarrée de 6 20 eil 24 , ou- 44 

 tre le réfidu 44, qui fait une efpece de 

 ?ra£lion dont il ne s'agit pas ici. 



Si après avoir mis 4 pour fécond , troifieme , qua» 

 trieme chiffre d'une racine , ce 4 fe trouvoit encore 

 trop fort par l'épreuve qu'on en feroit , alors au lieu 

 de 4 on ne mettroit que 3 , & l'on viendroit à la preu- 

 ve , comme on a vu ci-deffus. 



Cette manïevQ à' extraire efl préférable, en ce qu'elle 

 diminue les nombres fur lefquels on opère, & qu'il 

 y a toujours moins à tâtonner. C'efl-là proprement 

 l'avantage de cette méthode , laquelle efl fur -tout 

 bien commode pour Vextraclion de la racine cubique , 

 oii elle abrège beaucoup l'opération ; c'eil pourquoi 

 il eft bon de s'y accoutumer dès la racine quarrée , 

 il efl plus facile de l'employer enfuite dans Vcxtracr- 

 tioTi de la racine cubique. 



Au refte la démonftration qu'on vient de voir de 



